Hybnosť

Hybnosť (značka p alebo H) je vektorová fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje pohybový účinok hmotnosti (zavisí na hmotnosti aj rýchlosti telesa). Smer aj orientácia vektora hybnosti je zhodná so smerom vektora rýchlosti telesa. Jej jednotkou je kg m s^-1.

Rýchlosť je užitočná veličina pre opis kinematiky sústavy, teda toho, ako sa polohy telies menia s časom. Z reálneho života je však jasné, že je niečo úplne iné keď máme zastaviť kočiar idúci rýchlosťou 1 m/s , ako keď sa pokúsime zastaviť vagón s hmotnosťou 20 ton idúci presne tou istou rýchlosťou. Pre popis dynamiky (vzťahu medzi silami a pohybom) je preto namiesto rýchlosti potrebná iná veličina a tou je práve hybnosť.

Výpočet hybnosti

Hybnosť telesa s hmotnosťou $m$ pohybujúcim sa rýchlosťou ${\vec {v}}$ je daná vzorcom

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

Z tohto vzorca vyplýva jednotka hybnosti v sústave SI: SI jednotkou hmotnosti je kilogram a SI jednotkou rýchlosti je meter za sekundu, teda jednotka hybnosti je $kg\cdot m/s=kg\,m\,s^{-1}.$

2. Newtonov pohybový zákon, tzv. Zákon sily

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

sa dá prepísať tak, aby v ňom vystupovala hybnosť. Ak je hmotnosť telesa konštantná, potom zmena hybnosti je daná iba zmenou rýchlosti $\Delta {\vec {v}}\,$a je rovná $\Delta {\vec {p}}=m\Delta {\vec {v}}.\,$

Zrýchlenie ${\vec {a}}$ je však definované ako zmena rýchlosti za čas, teda platí ${\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}.\,$ Kombináciou posledných dvoch vzťahov dostaneme:

$m{\vec {a}}=m{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta {\vec {p}}}{\Delta t}},\,$

a teda

${\vec {F}}={\frac {\Delta {\vec {p}}}{\Delta t}}.$

Zákon zachovania hybnosti

Ak na sústavu nepôsobia žiadne vonkajšie sily, jej celková hybnosť (súčet hybností všetkých jej častí) sa v čase nemení, zachováva sa. Vtedy hovoríme o zákone zachovania hybnosti.

Hybnosť a zrážky

Zákon zachovania hybnosti je užitočný na výpočet výsledných rýchlostí telies po ich vzájomnej zrážke. Pri tzv. pružnej (elastickej) zrážke dvoch telies sa okrem hybnosti zachováva aj ich kinetická energia, pri nepružnej zrážke sa zrážajúce telesá zrazia do jedného a pokračujú už ako jeden objekt.

Nepružná zrážka

Táto kinetická energia sa typicky uvoľní ako teplo pri zrážke.

Nepružná zrážka telies s rovnakou hmotnosťou $m$, pričom jedno z nich pred zrážkou stojí a druhé sa pohybuje rýchlosťou $v$. Výsledná rýchlosť telesa $2m$ je $v/2$, celková hybnosť pred zrázkou je $mv$, po zrážke je taktiež $2m\cdot v/2=mv$.

Nech $m_{1}$ a $m_{2}$ sú hmotnosti dvoch telies pohybujúcich sa po tej istej priamke a $v_{1}$ a $v_{2}$ ich rýchlosti. (Všetky rýchlosti sú kladné, ak smerujú v kladom smere x-ovej osi, inak sú zaporné). V prípade nepružnej zrážky vytvoria telesá $m_{1}$ a $m_{2}$ jedno teleso s hmotnosťou $m_{1}+m_{2}$ a výslednou rýchlosťou $u$. Tú je možné vypočítať zo zákona zachovania hybnosti:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})u$

a teda

$u={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$.
Príkladom nepružnej zrážky je napríklad zrážka náboja s telesom, v ktorom náboj uviazne. Mechanická energia sa v tomto prípade vo všeobecnosti nezachováva:

${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})u^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\frac {(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2})^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{1}(m_{1}+m_{2})v_{1}^{2}+m_{2}(m_{1}+m_{2})v_{2}^{2}-(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2})^{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(v_{1}-v_{2})^{2}$

Pružná zrážka

Nech $m_{1}$ a $m_{2}$ sú hmotnosti dvoch telies pohybujúcich sa po tej istej priamke a $v_{1}$ a $v_{2}$ ich rýchlosti pred zrážkou a $u_{1}$ a $u_{2}$ ich rýchlosti po zrážke. (Všetky rýchlosti sú kladné, ak smerujú v kladom smere x-ovej osi, inak sú zaporné) V prípade pružnej zrážky platia naraz zákony zachovania hybnosti a mechanickej energie:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}$

Tento systém rovníc s neznámymi $u_{1}$ a $u_{2}$má dve riešenia. Prvé z nich je fyzikálne nezaujímavé: $u_{1}=v_{1}$a $u_{2}=v_{2}$, ktoré zodpovedá situácii, že telesá sa nezrazili.

Na rýchle získanie druhého riešenia je možné preskupiť rovnice nasledovne:

$m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})$

$m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})$

Predelením druhej rovnice prvou a využitím $a+b={\frac {a^{2}-b^{2}}{a-b}}$je možné získať

$v_{1}+u_{1}=v_{2}+u_{2}$