Elipsa

O literárnom termáne pozri elipsa (literatúra).

Elipsa je rovinná krivka, ktorá patrí do triedy kužeľosečiek. Elipsu možno definovať aj takto: je to množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od dvoch pevných bodov F1 a F2 konštantný súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť týchto bodov. Body F1, F2 sa nazývajú ohniská, priamka prechádzajúca bodmi F1, F2 sa nazýva hlavná os elipsy, body A, B v ktorých os elipsy pretína elipsu sú hlavné vrcholy elipsy, stred úsečky F1, F2 je stred elipsy a priamka kolmá na hlavnú os elipsy prechádzajúca jej stredom je vedľajšia os elipsy a body C, D, v ktorých vedľajšia os elipsy pretína elipsu sú vedľajšie vrcholy elipsy.

Ak zvolíme súradnicovú os tak, aby jej začiatok bol stred elipsy, x-ová os bola hlavná os elipsy a y-ová os bola vedľajšia os súradnice bodov budú:

F1=(-f,0), F2=(f,0), A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,b), D=(0,-b)

Všeobecná rovnica elipsy je:

$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$

Stredová rovnica elipsy je:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

Parametrické rovnice elipsy sú:

$x=a.\cos(\varphi )$

$y=b.\sin(\varphi )$

Užitočné vzťahy:

$f^{2}=a^{2}-b^{2}$

$e=f/a$

Plocha elipsy:

$A=\pi \cdot a\cdot b$

Symboly v rovniciach:

a je hlavná polos

b je vedľajšia polos

e je excentricita elipsy

f je ohnisková vzdialenosť; vzdialenosť medzi ohniskom a stredom elipsy.

φ je uhol 0 ≤ φ < 2π ako parameter

A, B, C, D, E sú koeficienty, pričom platí A > 0, B > 0 a A ≠ B

A je vo vzorci plochy plochou

Elipsa má veľký význam pri aplikácii matematiky vo fyzike, astronómii a v technike. Napríklad dráhy planét sú elipsy, v teórii pružnosti sa pracuje s elipsou inercie a elipsou napätia,...

Elipsu možno definovať aj ako kužeľosečku, je to prienik roviny s kužeľovou plochou, pričom rovina nie je kolmá na os kužeľovej plochy a zviera s osou väčší uhol, ako priamka, ktorej rotáciou kužeľová plocha vznikla.

Špeciálnym prípadom elipsy je kružnica. Je to elipsa, kde F1=F2 a súčasne polomer kružnice R = a = b.

Ak v elipse umiestnime svetelný zdroj do jedného ohniska, všetky lúče sa odrazia do druhého ohniska.

Parametrická rovnica elipsy všeobecne sú:

x =cos⁡(α).cos⁡(θ).r(θ)+x(0)

y =sin⁡(α).sin⁡(θ).r(θ)+y(0)

Kde r(θ) je:

r(θ)=(a .b)/√(〖[a .sin(θ)]〗^2+ [〖b .cos⁡(θ)]〗^2 )

:<math>r(\theta)=\frac{a (1-e^2)}{1 - e\cos(\theta - \phi)}.</math>

r(θ)=Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (syntaktická chyba): {\displaystyle r(θ) = a . b }

Pozri aj

• elipsoid

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Elipsa

Externé odkazy

• Kvadriky