Mandelbrotova množina

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina (pomenovaná po matematikovi Benoîtovi Mandelbrotovi) je jeden z najznámejších fraktálov. Je definovaná ako množina komplexných čísel c, pre ktoré platí

\lim_{n \rightarrow \infty}|z_n| \neq \infty,

kde postupnosť z_0, z_1, z_2, ... je definovaná rekurzívnym predpisom

z_0=0;\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c\,.

Bod c teda patrí do Mandelbrotovej množiny práve vtedy, ak uvedená limita neexistuje, alebo je konečná (napr. c = 0).

Je možné jednoducho dokázať, že postupnosť ide do komplexného nekonečna pre všetky |c|>2, takže ak ktorýkoľvek člen postupnosti prekročí túto absolútnu hodnotu, potom c nie je prvkom Mandelbrotovej množiny.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Časť mandelbrotovej množiny

Súvislosť s Juliovou množinou[upraviť | upraviť zdroj]

Mandelbrotova možina tvorí akúsi mapu Juliových množín. Každému bodu odpovedá Juliova množina. Pre body vnútri Mandelbrotovej množiny odpovedajú súvislé Juliove množiny, bodom mimo zas nesúvislé a pre hraničné body sú na hranici spojitosti. Vizuálne najzaujímavejšie sú body v okolí hranice Mandelbrotovej množiny. Tvar Juliovej množiny pripomína okolie korešpondujúceho bodu v Mandelbrotovej množine.

Praktická implementácia[upraviť | upraviť zdroj]

Zafarbená Mandelbrotova množina

Pri praktickej implementácii sa pre každý bod rovnica opakovane vyčísľuje a vo chvíli, keď |zn| > 2, je zrejmé, že pre daný bod bude rovnica divergovať (a pri grafickom zobrazovaní sa táto hodnota n, pre ktorú bod túto hranicu prekročil, spravidla prevádza na farbu). Ak ani po dopredu zvolenom počte iterácii k prekročeniu tejto hranice nedôjde, je bod považovaný za súčasť Mandelbrotovej množiny. Nastavenie tejto hranice ovplyvňuje výsledný obrázok: pre príliš malú hodnotu budú niektoré body nesprávne označené ako patriace do množiny, ale veľký počet iterácii vyžaduje dlhší čas výpočtu.

Výpočet je možné urýchliť tiež tým, že sa rýchlo detegujú body, ktoré do množiny evidentne patria, pretože sa nachádzajú vnútri hlavných častí množiny – kružnice a kardioidy.

Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg
Start
Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg
krok 1
Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg
krok 2
Mandel zoom 03 seehorse.jpg
krok 3
Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg
krok 4
Mandel zoom 05 tail part.jpg
krok 5
Mandel zoom 06 double hook.jpg
krok 6
Mandel zoom 07 satellite.jpg
krok 7
Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg
krok 8
Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg
krok 9
Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg
krok 10
Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg
krok 11
Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg
krok 12
Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg
krok 13
Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg
krok14


Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]