Inverzné zobrazenie (funkcia)

Inverzné zobrazenie alebo inverzná funkcia k nejakému zobrazeniu (funkcii) $f:A\rightarrow B$ priraďuje prvkom množiny B prvky z množiny A , teda priraďuje obrazom zobrazení f ich vzory. Inak povedané, inverzné zobrazenie zobrazuje „opačným smerom“ ako pôvodné zobrazenie.

Definícia

Ak je $f:A\rightarrow B$ zobrazenie, resp. $f=\left\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B\right\rbrace$ , potom inverzné zobrazenie je $f^{-1}:B\rightarrow A$ také, že $f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b$ resp. tiež $(b,a)\in f^{-1}\Leftrightarrow (a,b)\in f$ (tu $f$ a $f^{-1}$ sú v zmysle relácie). Z toho vyplýva, že zobrazenie f musí byť prosté, tzn. rôznym prvkom $a,a'$ musí priraďovať rôzne prvky $b,b'$ - inak by nebolo jednoznačne určené, na čo sa má zobraziť prvok b v inverznom zobrazení.

Vlastnosti

Inverzné zobrazenie je:

jednoduché
surjektívne („na“)
$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$

Ku každému vzájomne jednoznačnému zobrazeniu je možno nájsť zobrazenie inverzné.

Inverzné funkcie

Majme funkciu $y=f(x)$ s definičným oborom $D$ s oborom hodnôt $V$ . Inverznú funkciu k funkcii $f$ nazveme funkciou $x=g(y)$ s definičným oborom $V$ , ktorá každému $y\in V$ priradí práve to $x\in D$ , pre ktoré platí $y=f(x)$ . Inverzná funkcia k funkcii $f$ býva tiež zapisovaná ako $f^{-1}$ .

Ak je f prostá funkcia, potom k nej je možné nájsť inverznú funkciu. V takom prípade je graf inverznej funkcie k f osovo súmerný s grafom f podľa osi 1. a 3. kvadrantu. Z toho vyplýva, že identická funkcia $f(x)=x$ je inverzná sama k sebe.

Externé odkazy