Kruh

O iných významoch výrazu Kruh pozri Kruh (rozlišovacia stránka).

Kruh (z praslovan. krǫgъ, ktoré pochádza z praindoeur. krengh- odvodeného od [s]ker- – krútiť, ohýbať;^[1] lat. circulus) je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (stredu kružnice) je menšia alebo rovná pevne danému kladnému číslu (nazývaným polomer). Hranicu kruhu tvorí kružnica a je podmnožinou kruhu. Kruh je plocha ohraničená kružnicou vrátane nej samej.

Pre obvod kružnice platí: $O=2\pi r$ , kde $\pi =3,1415926...$ je konštanta (Ludolfovo číslo) a $r$ je polomer kružnice.

Pre obsah kruhu platí: $S=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}$

Rovnice kruhu

Všeobecná rovnica kruhu je:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c\leq 0

Stredová rovnica kruhu je:

(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\leq r^{2}

Parametrická rovnica kruhu je:

x=x_{M}+t\cdot cos(\phi )

y=y_{M}+t\cdot sin(\phi )

Symboly:
$a,b,c$ sú konštanty, pre ktoré platí $a^{2}+b^{2}-4ac>0$
$x_{M}$ a $y_{M}$ sú súradnice stredu M kruhu
$x$ a $y$ sú súradnice bodu, ktorý patrí množine „kruh“
$r$ je polomer kruhu
$t$ je vzdialenosť $0\leq t\leq r$ od stredu $M$ ako parameter
$\phi$ je uhol $0\leq \phi \leq 2\pi$ ako parameter

Plocha kruhu

Pre obsah S kruhu platí vzťah $S=\pi r^{2}$ . Znamená to, že štvorcov s polomerovým základom sa do kruhu zmestí práve $\pi$ . $S=4\int _{0}^{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {D} (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}{\mathrm {D} (r,\varphi )}}\,d\varphi \,dr=4\int _{0}^{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}\,d\varphi \,dr=4\int _{0}^{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}r\,d\varphi \,dr=4\int _{0}^{r}{\frac {\pi }{2}}r\,dr=\pi r^{2}$