Hausdorffova miera

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označená ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí , i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definícia Hausdorffovej miery[upraviť | upraviť zdroj]

Definícia: Nech definujeme:

kde

túto

je obyčajná gamma funkcia.

Pro a s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie[upraviť | upraviť zdroj]

je Borelova regulárna miera pre , nie je ale Radonova miera.

Z toho vyplýva toto:

je miera.

je miera.

je Borelova miera.

Ďalšie zaujímavé vlastnosti:

je čítacia miera.

na , kde je Lebesgueova miera.

na pre všetky .

pre všetky .

pre všetky afinné izometrie .

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.