Hausdorffova miera

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V matematike, Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia) je nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označena \bold{H}^s) je "dolnodimenzionalnou" mierou na \mathbb{R}^n, ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny \mathbb{R}^n. Základnou myšlienkou je, že množina \bold{A} je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny \mathbb{R}^n, kde platí

0<H^s(A)<\infty

, i keď \bold{A} je veľmi komplikovaná. \bold{H}^s je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.


Definícia Hausdorffovej miery[upraviť | upraviť zdroj]


Definícia: Nech \bold{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty definujeme

(i)\bold{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},

kde

\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}

túto

\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty),

je obyčajná gamma funkcia.

\bold(ii)Pro \bold{A} a \bold{s} s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)

\bold{H}^s nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na \mathbb{R}^n.

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie[upraviť | upraviť zdroj]


\bold{H}^s je Borelova regulárna miera pre 0\leq s<\infty, nieje ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:

(i)\bold{H}^s_\delta je miera.
(ii)\bold{H}^s je miera.
(iii)\bold{H}^s je Borelova miera.

Dalšie zaujímavé vlastnosti:

(i)\bold{H}^0 je čítacia miera.
(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1 na \mathbb{R}^n, kde \bold{L}^1 je Lebesgueova miera.
(iii)\bold{H}^s=0 na \mathbb{R}^n pre všetky \bold{s>n}.
(iv)\bold{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \bold{H}^s(A) pre všetky \lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n.
(v)\bold{H}^s(L(A))=\bold{H}^s(A) pre všetky afinní izometrie L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n.


Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.