Hausdorffova miera

Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označená $\mathbf {H} ^{s}$) je "dolnodimenzionalnou" mierou na $\mathbb {R} ^{n}$, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny $\mathbb {R} ^{n}$. Základnou myšlienkou je, že množina $\mathbf {A}$ je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny $\mathbb {R} ^{n}$, kde platí $0<H^{s}(A)<\infty$, i keď $\mathbf {A}$ je veľmi komplikovaná. $\mathbf {H} ^{s}$ je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definícia Hausdorffovej miery

Definícia: Nech $\mathbf {A} \subset \mathbb {R} ^{n},0\leq s<\infty ,0<\delta \leq \infty$ definujeme:

$(i)\mathbf {H} _{\delta }^{s}(A)=\inf\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (s)({\frac {diam(C_{i})}{2}})^{s}|A\subset {\cup _{j=1}^{\infty }C_{j}},diam(C_{j})\leq \delta \},$

kde

$\alpha (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}$

túto

$\Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty ),$

je obyčajná gamma funkcia.

$\mathbf {(} ii)$Pro $\mathbf {A}$ a $\mathbf {s}$ s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

$H^{s}(A)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{s}(A)=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{s}(A)$ $\mathbf {H} ^{s}$ nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na $\mathbb {R} ^{n}$.

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie

$\mathbf {H} ^{s}$ je Borelova regulárna miera pre $0\leq s<\infty$, nie je ale Radonova miera.

Z toho vyplýva toto:

$(i)\mathbf {H} _{\delta }^{s}$ je miera.

$(ii)\mathbf {H} ^{s}$ je miera.

$(iii)\mathbf {H} ^{s}$ je Borelova miera.

Ďalšie zaujímavé vlastnosti:

$(i)\mathbf {H} ^{0}$ je čítacia miera.

$(ii)\mathbf {H} ^{1}=\mathbf {L} ^{1}$ na $\mathbb {R} ^{n}$, kde $\mathbf {L} ^{1}$ je Lebesgueova miera.

$(iii)\mathbf {H} ^{s}=0$ na $\mathbb {R} ^{n}$ pre všetky $\mathbf {s>n}$.

$(iv)\mathbf {H} ^{s}(\lambda A)=\lambda ^{s}\mathbf {H} ^{s}(A)$ pre všetky $\lambda >0,A\subset \mathbb {R} ^{n}$.

$(v)\mathbf {H} ^{s}(L(A))=\mathbf {H} ^{s}(A)$ pre všetky afinné izometrie $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},A\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Literatúra

• Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.