Homomorfizmus grúp

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Homomorfizmus grúp alebo morfizmus grúp alebo homomorfné zobrazenie grúp a je zobrazenie , pri ktorom pre všetky prvky platí , pričom je operácia grupy a operácia grupy (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu).

Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homorfizmu :

  • (daný homomorfizmus zobrazí neutrálny prvok grupy na neutrálny prvok grupy ),
  • (daný homomorfizmus zobrazí inverzie prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)[1]

Intuícia[upraviť | upraviť zdroj]

Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia je homomorfizmus ak pre každé také, že máme

Inými slovami, grupa má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako a homomorfizmus ju zachováva.

Typy homomorfizmov grúp[upraviť | upraviť zdroj]

  • Monomorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je injektívny.
  • Epimorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je surjektívny.
  • Izomorfizmus je homomorfizmus, ktorý je bijektívny (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami a existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme . Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov.

Obraz a jadro[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je homomorfizmus grúp.

Potom množina sa nazýva jadro homomorfizmu . zvyčajne sa označuje (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne .

Obrazom homomorfizmu nazveme množinu (označenie pochádza z anglického slova image).

Jadro a obraz homomorfizmu môžu byť interpretované ako vyjadrenie, do akej miery je daný homomofizmus blízko izomorfizmu. Prvá veta o izomorfizme hovorí, že obraz homomorfizmu grúp je izomorfný faktorovej grupe .

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. ŠVÁBENSKÝ, Valdemar. Nauč sa matiku - abstraktná algebra [online]. 28.8.2015, [cit. 2018-02-04]. Dostupné online.

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • Július Korbaš: Lineárna algebra a geometria 1. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2003 (definícia 1.5.6)