Obyčajná diferenciálna rovnica

Obyčajná diferenciálna rovnica (ODR) je v matematike diferenciálna rovnica, ktorá obsahuje neznámu funkciu o jednej nezávislej premennej a jej prvých n derivácií. Rád obyčajnej diferenciálnej rovnice sa definuje ako rád najvyššej derivácie vyskytujúcej sa v rovnici s nenulovým koeficientom. Presnejšie, obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu je rovnica tvaru

$F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}\right)=0$,

kde y je neznáma funkcia a funkcia $F$ naozaj závisí od premennej $y^{(n)}$. Napríklad rovnica

$y'''(x)-xy(x)y'(x)-y^{5}(x)=0$

je tretieho rádu. Prívlastok obyčajné sa u tejto triedy diferenciálnych rovníc používa najmä s cieľom ich odlíšenia od parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré môžu obsahovať aj funkcie o viacerých nezávisle premenných a ich parciálne derivácie. Na základe definície sú obyčajné diferenciálne rovnice podtriedou (špeciálnym prípadom) parciálnych diferenciálnych rovníc, ale diferenciálna rovnica sa väčšinou zvykne označovať ako parciálna len v prípade, že nie je obyčajná.

Ak je funkcia $F$ lineárna funkcia v premenných $y,y',\dots ,y^{(n)}$ (nemusí byť lineárna funkcia nezávisle premennej $x$) tak hovoríme o lineárnej diferenciálnej rovnici. V opačnom prípade o nelineárnej diferenciálnej rovnici. Napríklad rovnica

$y''(x)-\sin(y(x))=0$

je nelineárna druhého rádu a rovnica

$y''(x)-\sin(x)=0$

je lineárna druhého rádu.

Ak neznáma funkcia $y$ a funkcia $F$ majú hodnoty v priestore $\mathbb {R} ^{N}$ tak hovoríme o sústave obyčajných diferenciálnych rovníc.

Diferenciálne rovnice majú široké uplatnenie v matematickom modelovaní v prírodných, technických aj humanitných vedách. Napríklad matematické vyjadrenie druhého Newtonovho zákona (pre pohyb v bežnom trojrozmernom priestore) je sústava troch diferenciálnych rovníc

$m{\vec {r}}''(t)={\vec {f}}({\vec {r}}(t),{\vec {r}}'(t),t),$

kde $m$ je hmotnosť telesa, zobrazenie $\mathbb {R} \ni t\mapsto {\vec {r}}(t)\in \mathbb {R} ^{3}$ je trajektória, ktorú hľadáme (riešime úlohu o pohybe a jej riešením je práve trajektória) a $\mathbb {R} ^{7}\ni ({\vec {r}},{\vec {r}}'(t),t)\mapsto {\vec {f}}({\vec {r}},{\vec {r}}'(t),t)\in \mathbb {R} ^{3}$ je sila, ktorá pôsobí na teleso.

Iným príkladom použitia obyčajných diferenciálnych rovníc je tzv. SIR model v matematickóm modelovaní v epidemiológii. Ak uvažujeme populáciu rozdelenú do troch typov: $S,I,R$ (v tomto poradí náchylní, infekční a imúnni) tak predstava celkom úspešného SIR modelu sa vyjadruje ako sústava obyčajných diferenciálnych rovníc

${\frac {dS}{dt}}=-\beta IS$

${\frac {dI}{dt}}=\beta IS-\nu I$

${\frac {dR}{dt}}=\nu I$

Čísla $\beta ,\nu$ sú parametre modelu, neznáme $S,I,R$ sú funkcie času $t$ – ak sa porovnajú experimentálne údaje s riešeniami uvedenej sústavy rovníc dá sa rozhodnúť, či existuje taký výber parametrov, ktoré by zodpovedali reálnym údajom.

Zoznam aplikácií diferenciálnych rovníc asi nie je možné vyčerpať.

S obyčajnými diferenciálnymi rovnicami je spojená celá široká matematická teória, ktorá skúma ich vlastnosti ako sú existencia riešenia, jednoznačnosť riešenia, glóbálne charakteristiky riešení, numerické metódy riešenia. Pre špeiálne typy ODR existujú rozsiahle vedomosti o ich vlastnostiach. Napríklad o lineárnych diferenciálnych rovniciach, o Riccatiho rovnici, Clairautovej rovnici, Eulerovej rovnici.