Ohraničená množina

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Pojem ohraničená množina možno definovať pre množiny reálných čísel alebo všeobecnejšie pre metrické priestory. Na množine reálných čísel, ktorá je zároveň metrickým priestorom, sú obe definície ekvivalentné.

Definícia pre reálne čísla[upraviť | upraviť zdroj]

  • Ak existuje také číslo , že pre všetky čísla platí , potom množinu označujeme ako ohraničenú zhora. Číslo nazývame horným ohraničením množiny.
  • Ak existuje také číslo , že pre všetky čísla platí , potom množinu označujeme ako ohraničenú zdola. Číslo nazývame dolným ohraničením množiny.

Množina reálnych čísel ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená.

Najmenšie horné ohraničenie množiny sa nazýva supremum množiny a označujeme ho .

Najväčšie dolné ohraničenie množiny sa nazýva infimum množiny a označujeme ho .

Definícia pre metrické priestory[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je metrický priestor, potom množinu nazveme ohraničenou, pokiaľ existuje a reálné číslo také, že pre každé je

Na rozdiel od pojmu uzavretá množina, ktorý nie je absolútny (tento istý metrický priestor môže byť uzavretý v jednom svojom nadpriestore a neuzavretý v inom), ohraničenosť je absolútny pojem.

Totálne ohraničený metrický priestor je vždy ohraničený, opačne to však neplatí.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Pre každé platí a
  • Ak množina je ohraničená zhora, tak má aj supremum.
  • Ak množina je ohraničená zdola, tak má aj infimum.
  • Ak , tak je .
  • Ak , tak je .

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]