Slaterov determinant

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Slaterov determinant je pojem používaný v kvantovej mechanike pre matematické vyjadrenie viacčasticovej vlnovej funkcie. Pre fermióny platí vo všeobecnosti princíp antisymetrie: Po výmene dvoch častíc v Slaterovom determinante sa vymení aj znamienko vlnovej funkcie. Determinant bol navrhnutý významným teoretickým fyzikom, Johnom Slaterom, ktorý takto pomocou maticovej matematiky vytvoril cenný nástroj kvantovej chémie.[1][2]

Odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Dva fermióny[upraviť | upraviť zdroj]

Najjednoduchšou metódou ako vytvoriť mnohočasticovú vlnovú funkciu (molekulový orbitál) je vynásobiť patrične zvolené jednoelektrónové vlnové funkcie (atómové orbitály, resp. spinorbitály):

pričom predstavuje jednoelektrónovú vlnovú funkciu pre i-tý elektrón so súradnicami Problémom je, že tento výraz nevyhovuje podmienkam antisymetrie:

Keďže elektróny sú nerozlíšiteľné, upravíme viacelektrónovú vlnovú funkciu tak, aby v nej figurovali všetky permutácie elektrónov v jednoelektrónových vlnových funkciách. To možno najjednoduhšie urobiť vytvorením lineárnej kombinácie všetkých možností.

Takáto funkcia po vymenení dvoch elektrónov už zmení znamienko. Aby sme ďalej pracovali s normalizovanou viacelektrónovou funkciou funckiou, musíme ešte tento výraz vynásobiť normalizačným faktorom. Vychádzame z toho, že jednoelektrónové funkcie už sú ortonormálne:

takže ak máme vlnovú funkciu
, čo znamená, že normalizačný faktor je

Tento fakt môžeme zapísať v podobe determinantu:

Táto funkcia je antisymetrická vzhľadom na výmenu fermiónov, ktoré sa stali nerozlíšiteľné. Všimnime si navyše, že ak , to jest v jednom spinorbitále sú dva elektróny (ktoré preto musia mať rovnaké všetky kvantové čísla), vyjde elektrónová hustota nulová:

Toto je vyjadrením Pauliho vylučovacieho princípu: situácia, v ktorej by boli dva elektróny v rovnakom kvantovom stave nie je prípustná.

Zovšeobecnenie[upraviť | upraviť zdroj]

Sériou predchádzajúcich krokov je možné vytvoriť Slaterov determinant pre ľubovoľne veľa častíc. Pre N-elektrónový systém dostávame


Slaterove determinanty slúžia na vyjadrenie vlnových funkcií pri teoretických výpočtoch, napríklad pri použití Hartree-Fockovej metódy. Majú tak široké uplatnenie v kvantovej chémii.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Slater, John. C. (1929). Theory of Complex Spectra Physics. Review. vol. 34 Retrieved on 13. august 2007 from "APS Physics: Physics Review Online Archive" on http://prola.aps.org/abstract/PR/v34/i10/p1293_1
  2. Slater, John. C. (1929)., p 1293

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • ZÁHRADNÍK, R.; POLÁK, R. Základy kvantové chemie, SNTL Praha 1976

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]