Snellov zákon

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Snellov zákon alebo Snellov zákon lomu je jeden zo základných zákonov geometrickej optiky; opisuje lom lúča svetla (či všeobecnejšie elektromagnetického žiarenia) na rovinnom rozhraní. Je pomenovaný podľa holandského fyzika Willebrorda Snella,

Znenie zákona[upraviť | upraviť zdroj]

Lom svetla

Ak lúč prechádza z prostredia s indexom lomu n_1 pod uhlom \theta_1 do prostredia s indexom lomu n_2, zalomí sa pod uhlom \theta_2:

\sin{\theta_1} n_1 = \sin{\theta_2} n_2
\sin{\theta_2} = \sin{\theta_1} \frac{n_1}{n_2}

Je zrejmé, žé sínus uhla \theta_2 môže byť najviac 1. Ak je uhol \theta_1 dostatočne veľký a n_1>n_2, môže nastať situácia, keby \sin{\theta_2} vychádzal väčší ako 1. Vtedy sa svetlo neláme a do druhého prostredia vôbec neprechádza. Hovoríme o takzvanom úplnom (totálnom) odraze (reflexii), pretože všetko dopadajúce svetlo sa odrazí podľa zákona odrazu.

Pre medzný uhol \theta_1, kedy sa svetlo prestáva lámať, platí:

\sin{\theta_1} = \frac{n_2}{n_1}

Pre prechod z prostredia do prostredia je užitočný zápis pomocou rýchlostí. Vieme, že pre rýchlosť šírenia svetla v prostredí platí:

v_i = c/n_i

Zákon lomu možno preto upraviť na tvar:

\frac{\sin{\theta_1}}{\sin{\theta_2}} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{v_1}{v_2}

Odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Snellov zákon sa zvyčajne odvodzuje pomocou princípu najmenšieho času.

Princíp najkratšieho času nie je fyzikálny zákon v pravom zmysle slova. Formuloval ho francúzsky matematik Pierre de Fermat okolo r. 1650. Podľa neho, svetlo sa šíri z bodu A do bodu B po takej trajektórii, aby do bodu B prišlo za čo najkratší čas. V súčasnosti sa slovo najkratší často nahradzuje slovom extremálny.

Zaveďme si, že bod A sa nachádza v kolmej vzdialenosti a_\perp od roviny optického rozhrania, bod B v kolmej vzdialenosti b_\perp na druhej strane rozhrania a ich vzdialenosť v smere roviny rozhrania je d_=. Najkratšia dráha sa zrejme bude nachádzať v rovine kolmej na rovinu rozhrania. Preto uvažujme to. Ďalej predpokladajme, že lúč dopadá vo vzdialenosti x od päty kolmice na A do nejaého bodu X. Lúč sa bude pohybovať po úsečke AX a potom po úsečke XB. Čas, za aký prejde lúč z bodu A do bodu B po tejto trajektórii bude:

t = \frac{\sqrt{a_\perp^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b_\perp^2 + (d_=-x)^2}}{v_2}

Chceme zistiť, kde musí ležať bod X, a teda aká musí byť vzdialenosť x, aby bol tento čas minimálny. Preto tento čas zderivujeme podľa premennej x a túto deriváciu položíme rovnú 0:

\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{x}{v_1 \sqrt{a_\perp^2 + x^2}} - \frac{d-x}{v_2 \sqrt{b_\perp^2 + (d_=-x)^2}} = 0

Ak si nakreslíme obrázok, vidíme že niektorého výrazy v našej rovnici sa dajú nahradiť funkciami uhlov. Výraz sa tak zjednoduší na:

\frac{\sin{\theta_1}}{v_1} = \frac{\sin{\theta_2}}{v_2}

Dostávame Snellov zákon:

\frac{\sin{\theta_1}}{\sin{\theta_2}} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}

Praktické následky[upraviť | upraviť zdroj]

  • Index lomu vzduchu je síce len málo odlišný od 1, ale predsa len väčší ako 1. To spôsobuje, že slnečné lúče sa v atmosfére lámu. Pri obzore sa slnko zdá byť o 1/2° vyššie, ako v skutočnosti je. Slnko sa taktiež javí sploštené.
  • Za predpokladu, že rýchlosť šírenia svetla v prostredí sa mení lineárne (napr. hustnúci vzduch v atmosfére), dá sa ukázať, že trajektóriou lúča je kružnicový oblúk.
  • V dôsledku prehriatia vzduchu nad horúcimi povrchmi môže ich index lomu poklesnúť. Takto môže vo vzduchu dochádzať k totálnemu odrazu, ktorý nazývame fatamorgána.
  • Snellov zákon možno použiť na optimalizáciu trajektórie telies aj v mechanike. Typickou úlohou na tento problém je optimalizácia dráhy Boba, ktorý beží za Alicou, pričom musí prebehnúť pás bahna, pás poľa a pás lúky a v každom páse sa pohybuje inou rýchlosťou. Bob chce vedieť, po akej dráhe má bežať, aby za Alicou prišiel za čo najkratší čas.