Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu

Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu (alebo základná veta infinitezimálneho počtu, základná veta kalkulu) je jednou z najdôležitejších viet matematickej analýzy, ktorá určuje príbuzenstvo medzi hlavnými operáciami infinitezimálneho počtu, derivovaním a integrovaním. Skladá sa z dvoch častí.

Podľa prvej základnej vety infinitezimálneho počtu derivácia neurčitého integrálu funkcie $f$ je funkcia $f$. Táto časť garantuje existenciu primitívnej funkcie pre každú spojitú funkciu.

Druhá základná veta infinitezimálneho počtu umožňuje vypočítať určitý integrál funkcie použitím hociktorej z jej nekonečného množstva primitívnych funkcií. Má obrovské množstvo praktických aplikácií, keďže výrazne zjednodušuje počítanie určitého integrálu.

Fyzikálna intuícia

Základná veta infinitezimálneho počtu hovorí, že súčet všetkých infinitezimálnych zmien nejakej veličiny za čas (alebo inú veličinu) je rovný celkovej zmene tejto veličiny.

Nech častica pohybujúca sa priamočiarym pohybom má funkciu pozície x(t) (je vo vzdialenosti x v čase t). Derivácia tejto funkcie je rovná infinitezimálnej zmene veličiny, dx, za infinitezimálnu zmenu času, dt (derivácia je teda tiež závislá na čase). Táto zmena vzdialenosti za zmenu času je rýchlosť v(t) tejto častice. Leibnizovým zápisom:

${\frac {dx}{dt}}=v(t).$

Preusporiadaním tejto rovnosti dostávame:

$dx=v(t)\,dt.$

Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že zmena veličiny x (alebo Δx) je súčtom infinitezimálnych zmien dx, a je tiež rovná súčtu infinitezimálnych súčinov derivácie a času. Tento súčet nekonečného množstva infinitezimálnych zmien je integrál; preto proces integrácie umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej derivácie. Dá sa ukázať, že to platí aj naopak: proces derivovania umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej neurčitého integrálu.

Geometrická intuícia

Plocha vyznačená červenou môže byť vypočítaná ako súčin $h$ a $f(x)$. Ak by bola známa funkcia $P(x)$, hodnota výrazu $P(x+h)-P(x)$ (obsah plochy pod krivkou v intervale $x$ až $x+h$) by bola približne rovnaká, ako súčin $f(x)h$, zvlášť pre malé $h$.

Nech je $y=f(x)$ spojitá funkcia, ktorej grafom je krivka. Definujeme funkciu $P(x)$ tak, že pre každé $x$ určíme hodnotu výrazu $P(x)$ ako obsah plochy pod krivkou $f(x)$ medzi $0$ až $x$

Obsah plochy pod krivkou medzi $x$ a $x+h$ môže byť vypočítaný ako rozdiel $P(x+h)-P(x)$. Obsah obdĺžnika so stranami $f(x)$ a $h$ je tiež približne rovný tejto hodnote:

$f(x)h\approx P(x+h)-P(x).$

Je zrejmé, že presnosť je tým väčšia, čím menšie je $h$. Ak sa $h$ limitne približuje k nule, výrazy sú si rovné.

Delením obidvoch strán rovnosti hodnotou $h$ dostávame:

$f(x)\approx {\frac {P(x+h)-P(x)}{h}}.$

Keď $h\rightarrow 0$, pravá strana prechádza na deriváciu funkcie plochy $P(x)$, takže môžeme neformálne ukázať, že $f(x)=P'(x)$, teda že derivácia funkcie plochy $P(x)$ je pôvodná funkcia $f(x)$ (funkcia plochy je primitívnou funkciou pôvodnej funkcie).

Počítanie derivácie funkcie a hľadanie obsahu plochy pod krivkou funkcie sú teda inverzné operácie. Toto je kľúčom Základnej vety infinitezimálneho počtu.

Formálne vyjadrenie

Jednoducho povedané prvá časť hovorí o derivácii primitívnej funkcie a druhá časť o príbuzenstve primitívnej funkcie a určitého integrálu.

Prvá časť

Nech $F$ je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ tak, že pre všetky $x\in \left\langle a,b\right\rangle$ platí

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,,$

kde $f$ je spojitá reálna funkcia definovaná na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$. Potom aj $F$ je spojitá na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$, derivovateľná na otvorenom intervale $\left(a,b\right)$, a

$F'(x)=f(x)\,$

pre všetky $x\in \left(a,b\right)$.

Dôkaz

Pre dané f(t) definujme funkciu F(x) takto

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,.$

Pre každé dve čísla x₁ a x₁ + Δx v intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ máme

$F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt$

a

$F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt\,.$

Odčítaním prvej rovnice od druhej:

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)$

Dá sa ukázať, že

$\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

Z tohoto vidíme že tieto dve integrály môžu byť spočítané (pozri vlastnosti integrálov)

$\int _{x_{1}}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

Substitúciou do (1) dostávame

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)$

Podľa vety o strednej hodnote pre integrály existuje také c v $\left\langle x_{1},x_{1}+\Delta x\right\rangle$, že

$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\Delta x\,.$

Substitúciou do (2) dostávame

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,.$

Predelením oboch strách Δx

${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$

Všimnite si že výraz na ľavej strane je Newtonov diferenčný kvocient pre F v x₁.

Spravme limitu pre Δx → 0 na oboch stranách rovnice

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).$

Výraz na ľavej strane rovnice je definícia derivácie funkcie F v x₁.

$F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)$

Na nájdenie druhej limity použijeme vetu o zovretí. Číslo c je v intervale $\left\langle x_{1},x_{1}+\Delta x\right\rangle$, takže x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Taktiež $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ a $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}\,.$

Preto, podľa vety o zovretí

$\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}\,.$

Substitúciou do (3) dostávame

$F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)\,.$

Funkcia f je spojitá v bode c, takže limita je vnútri funkcie. Z toho

$F'(x_{1})=f(x_{1})\,.$

čo bolo treba dokázať.

(Leithold et al., 1996)

Následok

Základná veta sa často používa na výpočet určitého integrálu funkcie ƒ, ktorej primitívna funkcia $g$ je známa. Ak teda ƒ je reálna funkcia definovaná na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a $g$ je v tomto intervale jej primitívnou funkciou, potom

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=g(b)-g(a).$

Následok predpokladá spojitosť na celom intervale.

Dôkaz

Nech  $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,$  s ƒ spojitou v $\left\langle a,b\right\rangle$. Ak g je primitívna funkcia k ƒ, potom g aj F majú tú istú deriváciu (podľa prvej časti tejto vety). Ďalej existuje číslo c také, že F(x) = g(x) + c, pre všetky x v $\left\langle a,b\right\rangle$. Nech x = a, potom

$F(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0=g(a)+c\,,$

čo znamená že c = − g(a). Inými slovami F(x) = g(x) − g(a), a teda

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=g(b)-g(a).$

Druhá časť

Táto časť sa niekedy volá aj Newton-Leibnizova formula.

Nech $f$ je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a $g$ je jej primitívnou funkciou na tomto intervale, teda pre všetky $x\in \left\langle a,b\right\rangle$ platí

$f(x)=g'(x).\$

Ak $f$ je integrovateľná na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$, potom

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,=g(b)-g(a).$

Pretože táto veta nepredpokladá spojitosť funkcie $f$, je silnejšia, než následok prvej časti.

Ak primitívna funkcia $g$ existuje, existuje ďalšie nekonečné množstvo primitívnych funkcií k funkcii $f$, ktoré dostaneme pripočítanim ľubovoľnej konštanty (konštanty integrácie) ku $g$. Táto konštanta sa zruší pri diferenciácii. Podľa prvej časti tiež platí, že ak je $f$ spojitá, má vždy primitívnu funkciu.