z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Binomická veta je dôležitá matematická veta , vďaka ktorej môžeme n -tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.kombinatoriky .
Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n reálne a komplexné čísla x a y platí:
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle {(x+y)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}y^{k}}
(
n
k
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}}
kombinačné číslo , ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom:
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! faktoriál čísla n .
Iný zápis vyzerá takto:
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
n
+
(
n
1
)
x
n
−
1
y
+
⋯
+
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
⋯
+
(
n
n
)
y
n
,
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+\dots +{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+\dots +{n \choose n}y^{n},}
pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:
A
k
=
(
n
k
−
1
)
x
n
−
k
+
1
y
k
−
1
{\displaystyle A_{k}={\begin{pmatrix}n\\{k-1}\end{pmatrix}}x^{n-k+1}y^{k-1}}
Použijeme matematickú indukciu .
Keď n = 0, rovnosť platí:
(
a
+
b
)
0
=
1
=
∑
k
=
0
0
(
0
k
)
a
0
−
k
b
k
.
{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}
Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m . Potom pre
n
=
m
+
1
{\displaystyle n=m+1}
(
a
+
b
)
m
+
1
=
a
(
a
+
b
)
m
+
b
(
a
+
b
)
m
{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}
z indukčného predpokladu:
=
a
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
a
m
−
k
b
k
+
b
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
{\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}
násobené číslami
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
=
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
+
1
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
vyjmutie
k
=
0
{\displaystyle k=0}
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
+
1
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
substitúciou
j
=
k
−
1
{\displaystyle j=k-1}
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
k
=
1
m
+
1
(
m
k
−
1
)
a
m
−
k
+
1
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}
vyjmutie
k
=
m
+
1
{\displaystyle k=m+1}
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
−
1
)
a
m
+
1
−
k
b
k
+
b
m
+
1
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}
zloženie dvoch súm:
=
a
m
+
1
+
b
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
[
(
m
k
)
+
(
m
k
−
1
)
]
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}
z Pascalovho pravidla:
=
a
m
+
1
+
b
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
+
1
k
)
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
pridaním
m
+
1
{\displaystyle m+1}
=
∑
k
=
0
m
+
1
(
m
+
1
k
)
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
Q.E.D. Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}
(
x
−
y
)
2
=
x
2
−
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}
Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných ) čísel je umocňovaný na reálne číslo .a reálne a komplexné čísla x a y také, že
|
x
y
|
<
1
{\displaystyle |{\frac {x}{y}}|<1}
(
x
+
y
)
a
=
∑
k
=
0
∞
(
a
k
)
x
k
y
a
−
k
{\displaystyle {(x+y)}^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}x^{k}y^{a-k}}
(
a
0
)
=
1
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}=1}
(
a
k
)
=
a
(
a
−
1
)
(
a
−
2
)
.
.
.
(
a
−
k
+
1
)
k
!
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}={\frac {a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}}}
k > 0 [1] [2] [3]
↑ J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 . Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-04-18]. ISBN 80-8078-091-9 ↑ P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky . Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-04-18]. ↑ K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky . Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-04-18]. ISBN 80-242-1227-7 
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e618a93bfc846cc18c367d38d3425feb259cb85)
