Rovnica (matematika): Rozdiel medzi revíziami
d r2.7.2) (robot Pridal: uz:Tenglama |
d Bot: Odstránenie 84 odkazov interwiki, ktoré sú teraz dostupné na Wikiúdajoch (d:q11345) |
||
Riadok 67: | Riadok 67: | ||
{{Link FA|fr}} |
{{Link FA|fr}} |
||
[[an:Equación]] |
|||
[[ar:معادلة رياضية]] |
|||
[[be:Ураўненне]] |
|||
[[be-x-old:Раўнаньне]] |
|||
[[bg:Уравнение]] |
|||
[[bn:সমীকরণ]] |
|||
[[bs:Jednačina]] |
|||
[[ca:Equació]] |
|||
[[cs:Rovnice]] |
|||
[[cy:Hafaliad]] |
|||
[[da:Ligning]] |
|||
[[de:Gleichung]] |
|||
[[el:Εξίσωση]] |
|||
[[eml:Equaziån]] |
|||
[[en:Equation]] |
|||
[[eo:Ekvacio]] |
|||
[[es:Ecuación]] |
|||
[[et:Võrrand]] |
|||
[[eu:Ekuazio]] |
|||
[[ext:Ecuación]] |
|||
[[fa:معادله]] |
|||
[[fi:Yhtälö]] |
|||
[[fiu-vro:Võrrand]] |
|||
[[fr:Équation]] |
|||
[[gan:方程]] |
|||
[[gl:Ecuación]] |
|||
[[he:משוואה]] |
|||
[[hi:समीकरण]] |
|||
[[hr:Jednadžba]] |
|||
[[hu:Egyenlet]] |
|||
[[ia:Equation]] |
|||
[[id:Persamaan]] |
|||
[[io:Equaciono]] |
|||
[[is:Jafna]] |
|||
[[it:Equazione]] |
|||
[[ja:方程式]] |
|||
[[ka:განტოლება]] |
|||
[[kn:ಸಮೀಕರಣ]] |
|||
[[ko:방정식]] |
|||
[[ku:Wekhevî]] |
|||
[[ky:Теңдеме]] |
|||
[[la:Aequatio]] |
|||
[[lmo:Equazziun]] |
|||
[[lo:ສົມຜົນ]] |
|||
[[lt:Lygtis]] |
|||
[[lv:Vienādojums]] |
|||
[[ml:സമവാക്യം (ഗണിതശാസ്ത്രം)]] |
|||
[[mr:समीकरण]] |
|||
[[ms:Persamaan]] |
|||
[[nap:Equazione]] |
|||
[[nl:Vergelijking (wiskunde)]] |
|||
[[nn:Likning]] |
|||
[[no:Ligning (matematikk)]] |
|||
[[oc:Equacion]] |
|||
[[pl:Równanie]] |
|||
[[pms:Equassion]] |
|||
[[pnb:ترکڑی]] |
|||
[[pt:Equação]] |
|||
[[qu:Paqtachani]] |
|||
[[ro:Ecuație]] |
|||
[[ru:Уравнение]] |
|||
[[sah:Тэҥнэбил]] |
|||
[[scn:Iquazzioni]] |
|||
[[sh:Jednačina]] |
|||
[[simple:Equation]] |
|||
[[sl:Enačba]] |
|||
[[sn:Tsazaniso]] |
|||
[[sq:Ekuacioni]] |
|||
[[sr:Једначина]] |
|||
[[sv:Ekvation]] |
|||
[[ta:சமன்பாடு]] |
|||
[[th:สมการ]] |
|||
[[tr:Denklem]] |
|||
[[tt:Тигезләмә]] |
|||
[[uk:Рівняння]] |
|||
[[ur:مساوات]] |
|||
[[uz:Tenglama]] |
|||
[[vi:Phương trình]] |
|||
[[vls:Vergelykinge (wiskunde)]] |
|||
[[war:Ekwasyon]] |
|||
[[yi:גלייכונג]] |
|||
[[yo:Ìṣedọ́gba]] |
|||
[[zh:方程]] |
|||
[[zh-yue:方程]] |
Verzia z 00:39, 8. marec 2013
Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.
Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".
Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.
Znak rovná sa
Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:
Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.
Základné definície
- Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x1, x2…xn (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
- Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a0, a1…an (často označované ako a, b, c…)
- Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
- Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
- Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.
Premenná, neznáma, parameter
Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:
- neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
- parametre = ostatné premenné
Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.
Delenie podľa počtu neznámych
Delenie podľa riešiteľnosti
- všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
- riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
- neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)
Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x2 = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.
Delenie podľa typu zobrazení F a f
- algebrická rovnica
- nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)
Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice
Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych xT = (x1, x2…xn) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor aT = (a0, a1…an), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a0x0 + a1x1 +…+ anxn = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
aTx = b.
Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A =
a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b
- Vysvetlivky
- tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
- T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)
Riešenie rovnice
Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:
- Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
- Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.
Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.