Geometrický priemer

Geometrický priemer ${\bar {x}}_{G}$ je druh priemer.

Vzorec

Majme súbor s rozsahom n, vytvorený kladnými hodnotami. Geometrický priemer z nevytriedených dát je n– tá odmocnina z ich súčinu, teda

${\bar {x}}_{G}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\,\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$

Napríklad, geometrický priemer čísel 2, 3, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10 je

${\bar {x}}_{G}={\sqrt[{10}]{2\cdot 3\cdot 6\cdot 7\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 10}}={\sqrt[{10}]{102,876480}}\approx 6,3$

Použitie

Je ztejmé, že geometrický priemer má zmysel iba pre dáta, v ktorých sú všetky hodnoty kladné čísla.

Geometrický priemer sa na rozdiel od aritmetického priemeru používa na koeficienty, napr. na výpočet priemerného rastu: ak rast cien bol postupne 20 %, 10 %, potom 15 % pokles a 10 % rast, tak priemerný rast sa rovná (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)^1/4 ≅ 1,054, čiže priemerný rast je približne 5,4 %. Toto číslo vyjadruje, že výsledná cena by taá bola aj v prípade, ak by rast bol konštantný, každý rok 5,4 % (lebo 1,054⁴ ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Geometrický priemer je vždy menší alebo rovný ako aritmetický priemer rovnakého súboru dát (a rovná sa mu iba v prípade, ak sú všetky hodnoty v súbore rovnaké). To umožňuje definovať aritmeticko-geometrický priemer, ktorý vždy leží medzi aritmetickým a geometrickým priemerom.

Aritmetický priemer logaritmov

Geometrický priemer je definovaný ako

$\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$

Pri použití logaritmov možno súčiny zmeniť na súčty a umocňovanie na súčin:

$\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}\right]$

Tento vzorec opisuje aritmetický priemer logaritmov dát, na ktorý sa potom aplikuje umocnenie. To znamená, že geometrický priemer možno chápať ako zovšeobecnený priemer s transformáciou f(x) = ln x.