Banachov priestor

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor $V$ nad telesom reálnych alebo komplexných čísel s normou $\|.\|$, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike $d(x,y) = \|x - y\|$ limitu.

Príklady

• Priestory $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^n$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^n$ definujeme euklidovskú normu

$\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2},$

kde $x = (x_1, \ldots ,x_n)$, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

• Priestor všetkých spojitých funkcií $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ s normou

$\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|$

je Banachov.

• Pokiaľ na predchádzajúcom priestore definujeme normu

$\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt$ alebo $\|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt},$

daný priestor už Banachov priestor nebude.

• Ak X je normovaný lineárny priestor a Y je Banachov priestor, potom priestor všetkých obmedzených lineárnych operátorov z X do Y s normou

$\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}$

je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade $Y=\mathbb{C}$.

Pozri aj

• Hilbertov priestor
• Lebesgueov priestor

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Banachův prostor na českej Wikipédii.

Externé odkazy

• Banachov priestor - Wolfram MathWorld (po anglicky).