Banachov priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor V nad telesom reálnych alebo komplexných čísel s normou \|.\|, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike d(x,y) = \|x - y\| limitu.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2},
kde x = (x_1, \ldots ,x_n), budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.
\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|
je Banachov.
  • Pokiaľ na predchádzajúcom priestore definujeme normu
\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt alebo \|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt},
daný priestor už Banachov priestor nebude.
  • Ak X je normovaný lineárny priestor a Y je Banachov priestor, potom priestor všetkých obmedzených lineárnych operátorov z X do Y s normou
\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}
je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade Y=\mathbb{C}.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Banachův prostor na českej Wikipédii.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]