Lagrangeova funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lagrangeova funkcia (iné názvy: Lagrangeov výraz, lagrangeián, lagrangián, lagranžián [výslovnosť vždy "lagra(n)ž..."], značka L) dynamického systému predstavuje východiskový bod lagrangeovej formulácie klasickej mechaniky. Je pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea.

V klasickej mechanike je lagrangeián definovaný ako zovšeobecnená kinetická energia T systému mínus jeho zovšeobecnená potenciálna energia V[1]:

L = T - V.\quad

Priamou substitúciou lagrangeiánu do Eulerovej–Lagrangeovej rovnice získame systém parciálnych diferenciálnych rovníc predstavujúcich pohybové rovnice študovaného systému.

Lagrangeova formulácia[upraviť | upraviť zdroj]

Dôležitosť[upraviť | upraviť zdroj]

Lagrangeova formulácia mechaniky je dôležitá nielen pre jej širokú aplikáciu, ale aj pre jej úlohu v pokroku hlbšieho chápania fyziky. Hoci sa Lagrange snažil len opísať klasickú mechaniku, akčný princíp, ktorý sa používa na odvodenie Lagrangeovej rovnice sa teraz uznáva za aplikovateľný na kvantovú mechaniku.

Fyzická akcia a kvantovomechanická fáza sú prepojené prostredníctvom Planckovej konštanty, a princíp stacionárnej akcie možno pochopiť v pojmoch konštruktívnej interferencie vlnových funkcií.

Rovnaký princíp a Lagrangeov formalizmus sú úzko prepojené na Noetherovej teorému, ktorá prepája fyzickú konzervovanú kvantitu na kontinuálne symetrie fyzického systému.

Lagrangeovská mechanika a Noetherovef teoréma spolu dávajú prirodzený formalizmus pre prvú kvantizáciu prostredníctvom zahrnutia komutátorov medzi určitými pojmami lagrangeovských rovníc pre fyzikálny systém.

Výhody nad inými metódami[upraviť | upraviť zdroj]

  • Formulácia nie je napojená na žiadnu sústavu súradníc – namiesto toho môžu byť akékoľvek vhodné premenné \varphi_i(s) použité na opísanie systému; tieto premenné sa nazývajú "zovšeobecnené súradnice" a môže ísť o akúkoľvek nezávislú premennú systému (napríklad sila magnetického poľa magnetického poľa na konkrétnej pozícii; uhol ťahu; pozícia častice v priestore; alebo stupeň excitácie konkrétneho eigenmódu v komplexnom systéme). Vďaka tomu je možné ľahko zakomponovať obmedzenia do teórie definovaním súradníc, ktoré popisujú iba stavy systému, ktorý vyhovuje obmedzeniam.
  • Ak je lagrangeián invariantný na symetrii, potom výsledné rovnice pohybu sú taktiež invariantné na tejto symetrii. Toto je veľmi nápomocné pri ukazovaní, že teórie sú v súlade buď so špeciálnou relativitou alebo všeobecnou relativitou.
  • Rovnice odvodené od lagrangeiánu budú takmer určite jednoznačné a konzistentné, na rozdiel od rovníc, ktoré sú výsledkom viacerých formulácií.

"Cyklické súradnice" a konzervačné zákony[upraviť | upraviť zdroj]

Dôležitou vlastnosťou lagrangeiánu je, že konzervačné zákony z nich možno ľahko odčítať. Napríklad, ak lagrangeián \mathcal L závisí od časovej derivácie \dot q_i zovšeobecnenej súradnice, ale nie od q_i samotnej, potom zovšeobecnená hybnosť,

p_i:=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i},

je konzervovanou kvantitou. toto je špeciálny prípad Noetherovej teorémy, pozri nižšie. Takéto koordinanty sa nazývajú "cyklické".

Napríklad konzerváciu zovšeobecnenej hybnosti

p_2:=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_2},

možno pozorovať, ak lagrangeián systému má formu

\mathcal L(q_1,q_3,q_4, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4, \dots;t)\,.

Rovnako, ak čas t sa neobjavuje v \mathcal L, potom nasleduje konzervovanie Hamiltonianu. Toto je konzervovanie energie až kým potenciálna energia nedosiahne rýchlosť ako v elektrodynamike. Viac detailov je možné nájsť v akejkoľvek učebnici týkajúcej sa teoretickej mechaniky.

Vysvetlenie[upraviť | upraviť zdroj]

Rovnice pohybu sa získavajú prostredníctvom princípu akcie, zapísaného ako:

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0\,.

kde akcia, \mathcal{S} je funkciou závislých premenných \varphi_i(s) spolu s ich derivátmi samotným s

\mathcal{S}\left[\varphi_i, \frac{\partial \varphi_i} {\partial s}\right] = \int{ \mathcal{L} \left[\varphi_i [s], \frac{\partial \varphi_i [s]}{\partial s^\alpha}, s^\alpha\right] \, \mathrm{d}^n s }

a kde s = \{ s^\alpha \} \! popisuje súbor n nezávislých premenných systému, indexovaného ako \alpha = 1, 2, 3, \ldots, n .

Rovnice pohybu získané z tejto funkcionálnej derivácieEuler–Lagrangeove rovnice tohto atómu. Napríklad, v klasickej mechanike častíc, jedinou nezávislou premennou je čas t. A tak Euler-Lagrangeove rovnice sú

\frac{d}{d t}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot \varphi_i} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\varphi_i} .

Dynamické systémy, ktorých rovnice pohybu je možné získať prostredníctvom akčného princípu na vhodne vybranom lagrangeiáne sú známe ako Lagrangeovské dynamické systémy. Príklady Lagrangeovských dynamických systémov siahajú od klasickej verzie Štandardného modelu po Newtonove rovnice a čisto matematickým problémom ako sú geodézne rovnice a Plateauov problém.

Príklad klasickej mechaniky[upraviť | upraviť zdroj]

V pravouhlej sústave súradníc[upraviť | upraviť zdroj]

Predpokladajme, že máme trojrozmerný priestor a lagrangeián

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x}).

Potom Eulerova–Lagrangeova rovnica znie:

\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0

kde i = 1, 2, 3.

Derivácia dáva:

\frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \,  \dot{x}_i \, \dot{x}_i \, \right) = \ m \, \dot{x}_i
\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i

Eulerove–Lagrangeove rovnice preto možno zapísať ako:

m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0

kde derivácia času je zapísaná konvenčne ako bod nad diferencovaným objemom a \nabla je del operátor.

Použijúc tento výsledok je možno ľahko ukázať, že lagrangeovský prístup je ekvivalentný newtonovskému.

Ak je sila zapísané v pojmoch potenciálu \vec{F}=- \nabla V(x); výsledná rovnica je \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, čo je presne rovnaké rovnica ako v newtonovskom prístupe pre objekt konštantnej hmotnosti.

Veľmi podobnou dedukciou dostávame výraz \vec{F}=\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t, ktorý je Newtonovým druhým zákonom v jeho všeobecnej podobe.

V sústave sférických súradníc[upraviť | upraviť zdroj]

Predpokladajme, že máme trojdimenzionálny priestor použijúc sférické súradnice r, \theta, \phi s lagrangeiánom

L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

Potom Eulerove–Lagrangeove rovnice sú:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Tu je súbor s_i len časom t, a dynamické premenné \phi_i(s) sú trajektóriami \vec x(t) častice.

Napriek použitiu štandardných premenný ako x, lagrangeián dovoľuje použitie akýchkoľvek súradníc, ktoré nemusia byť ortogonálne. Sú to "zovšeobecnené súradnice".

Lagrangeián testovacej častice[upraviť | upraviť zdroj]

Testovacia častica je časticou, ktorej hmotnosť a náboj sú pravdepodobne tak malé, že jej vplyv na externý systém nie je dôležitý. Je to často hypoteticky zjednodušené bodová častica, ktorá má len hmotnosť a náboj. Reálne častice ako elektróny a horné kvarky sú komplexnejšie a majú dodatočné pojmy vo svojich lagrangeiánoch.

Klasická testovacie častica s Newtonovskou gravitáciou[upraviť | upraviť zdroj]

predpokladajme, že máme časticu s hmotnosťou m \! kilogramov a pozíciou \vec{x} metrov v newtonovskom gravitačnom poli s potenciálom \zeta \! joulov na kilogram. Línia častice je parametrizovaná časom t\! v sekundách. Kinetická energia častice je:

 T[t] = {1 \over 2} m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t]

a gravitačná potenciálna energia častice je:

 V[t] = m \zeta [\vec{x} [t],t] .

Potom lagrangeián je L \! joulov, kde

 L[t] = T[t] - V[t] = {1 \over 2} m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t]  - m \zeta [\vec{x} [t],t] .

Variujúc \vec{x}\! v integráli (ekvivalentom Euler–Lagrangeovej diferenciálnej rovnici), dostávame

0 = \delta\int{L[t] \, \mathrm{d}t} = \int{\delta L[t] \, \mathrm{d}t}
= \int{m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\delta \vec{x}}[t]  - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] \cdot \delta \vec{x}[t] \, \mathrm{d}t}.

Integrujme prvý pojem po častiach and zrušme celkový integrál. Potom rozdeľme variáciu, aby sme dostali

0 = - m \ddot{\vec{x}}[t] - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t]

a tak

m \ddot{\vec{x}}[t] = - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)

je rovnica pohybu – dva rozdielne výrazy vyjadrujúce silu.

Špeciálna relativistická testovacia častiaca s elektromagnetizmom[upraviť | upraviť zdroj]

V špeciálnej relativite, forma pojmu, ktorý vyvodzuje deriváciu hybnosti musí byť zmenená; už nejde o kinetickú energiu. Stáva sa:

- m c^2 \frac{d \tau[t]}{d t} = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}
= -m c^2 + {1 \over 2} m v^2 [t] + {1 \over 8} m \frac{v^4 [t]}{c^2} + \dots

(V špeciálnej relativite, energia voľnej testovacej častice je m c^2 \frac{dt}{d \tau [t]} = \frac{m c^2}{\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}} = +m c^2 + {1 \over 2} m v^2 [t] + {3 \over 8} m \frac{v^4 [t]}{c^2} + \dots )

kde c \! metrov za sekundu je rýchlosť svetla vo vákuu, \tau \! sekúnd vo vhodnom čase (t.e. čas meraný hodinami pohybujúcimi sa s časticou) a v^2 [t] = \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t].. Druhý pojem v sérii je len klasická kinetická energia. Predpokladajme, že častiaca má elektrický náboj q\! coulombov a je v elektromagnetickom poli so skalárnym potenciálom \phi \! voltov (volt je joule na coulomb) a vektorový potenciál \vec{A} voltsekúnd za meter. Lagrangeián špeciálnej relativistickej testovacej častice je elektromagnetické pole:

 L[t] = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} - q \phi [\vec{x}[t],t] + q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t]

Variáciami s ohľadom na \vec{x}, dostávame

0 = - \frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}[t]} {\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}}\right) - q \nabla\phi [\vec{x}[t],t] - q \partial_t{\vec{A}} [\vec{x}[t],t]
- q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \nabla\vec{A} [\vec{x}[t],t] 
+ q \nabla{\vec{A}} [\vec{x}[t],t] \cdot \dot{\vec{x}}[t]

čo je

\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}[t]} {\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}}\right) = q \vec{E}[\vec{x}[t],t]
+ q \dot{\vec{x}}[t] \times \vec{B} [\vec{x}[t],t]

čo je rovnica, ktorá je rovnicou pre Lorentzovu silu, kde

\vec{E}[\vec{x},t] = - \nabla\phi [\vec{x},t] - \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t]
\vec{B}[\vec{x},t] = \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t]

Všeobecná relativistická testovacia častica[upraviť | upraviť zdroj]

Vo všeobecnej relativite, prvý pojem zovšeobecňuje ako klasickú kinetickú energiu a interakciu medzi newtonskym gravitačným potenciálom. Stáva sa:

- m c^2 \frac{d \tau[t]}{d t}
= - m c \sqrt {- g_{\alpha\beta}[x[t]] \frac{d x^{\alpha}[t]}{d t} \frac{d x^{\beta}[t]}{d t}} .

Lagrangeián všeobecnej relativistickej testovacej častice v elektromagnetickom poli je:

 L[t] = - m c \sqrt {- g_{\alpha\beta}[x[t]] \frac{d x^{\alpha}[t]}{d t}
\frac{d x^{\beta}[t]}{d t}} + q \frac{d x^{\gamma}[t]}{d t} A_{\gamma}[x[t]] .

A štvorrozmerné priestorovočasové súradnice x^{\alpha}\! sú dané v arbitrárnych jednotkách (t. j. bezjednotkových), potom g_{\alpha\beta}\! metrov štvorcových je symetrické na úrovni 2 metrického tenzoru, čo je taktiež gravitačným potenciálom. Taktiež, A_{\gamma}\! voltsekúnd je elektromagnetický 4-vektorový potenciál. Všimnite si, že faktor c bol absorbovaný do druhej mocniny, pretože toto sa rovná

c\, \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} =  \sqrt {- ( - c^2 + v^2 [t])} .

Všimnite si, že tento pojem bol vo všeobecne odvodený od špeciálnej relativity.

Lagrangeiány a hustoty lagrangeiánu v teórii poľa[upraviť | upraviť zdroj]

Časový integrál lagrangeiánu sa nazýva akcia popísaná prostredníctvom S.
V teórii poľa, rozdiel je niekedy robený medzi lagrangeiánom L, ktoré je akcia integrálom času:

\mathcal{S} = \int{L \, \mathrm{d}t}

a hustota Lagrangeiánu \mathcal{L}, ktorý sa integruje ponad všetok priestoročas aby sa získala akcia:

\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}

Lagrangeián je potom priestorovým integrálom lagrangeiánskej hustoty. \mathcal{L} sa však takisto často nazýva lagrangeián, hlavne vo svojom modernom používaní; je oveľa užitočnejší v relativistických teóriách, keďže ide o definíciu lokálne definovanú Lorentzovým skalárnym poľom. Obe definície lagrangeiánu možno vidieť ako špeciálne prípady všeobecnej formy, v závislosti na tom, či priestorová premenná \vec x je zahrnutá do indexu i alebo parametrov s v \varphi_i(s). Teórie kvantového poľa v časticovej fyzike, ako kvantová elektrodynamica, sú obvykle popísané v pojmoch \mathcal{L}, a pojmy v tejto forme lagrangeiánu sa rýchlo transformujú do pravidiel používaných pri hodnotení Feynmanových diagramov.

Vybrané polia[upraviť | upraviť zdroj]

Pre pokračovanie v sekcii o testovacích časticiach vyššie, tu sú rovnice pre polia v ktorých sa pohybujú. Rovnice nižšie sa týkajú polí, v ktorých testovacie častice popísané vyššie sa pohybujú a dovoľujú výpočet týchto polí. Tieto rovnice nedajú rovnice pohybu testovacej častice, ale dávajú potenciál (pole) vyvolaný kvantitami ako sú hmotnosť alebo hustota náboja v akomkoľvek bode [\vec{x},t]. Napríklad, ak v prípade newtonovskej gravitácie je lagrangeiánska hustota integrovaná v priestoročase, dáva rovnicu, ktorá, ak je vyriešená, poskytne \zeta [\vec{x},t]. Toto \zeta [\vec{x},t], keď je substituované späť v rovnici (1), Lagrangeova rovnica pre testovaciu časticu je Newtonovské gravitačné pole, pričom poskytuje informáciu potrebnú pre výpočet akcelerácie častice.

Newtonovská gravitácia[upraviť | upraviť zdroj]

Lagrangeián (hustota) je \mathcal{L} joulov na meter 3 (kubický). Interakčný pojem m \zeta \! je nahradený pojomom zahŕňajúcim kontinuálnu hustotu hmotnosti \mu \! kilogramov na meter kubický. Toto je nevyhnutné, pretože používajúc podobý zdroj pre pole by vyústilo v matematické ťažkosti. Výsledný lagrangeián pre klasické gravitačné pole je:

\mathcal{L}[\vec{x},t] = - \mu [\vec{x},t] \zeta [\vec{x},t] - {1 \over 8 \pi G} (\nabla \zeta [\vec{x},t])^2

kde G \! metrov kubických na kilogram sekondu na druhú je gravitačná konštanta. Variácia integrálu s ohľadom na math>\zeta \!</math> dáva:

0 = - \mu [\vec{x},t] \delta\zeta [\vec{x},t] - {2 \over 8 \pi G} (\nabla \zeta [\vec{x},t]) \cdot (\nabla \delta\zeta [\vec{x},t]) .

Integrujte časti a zrušte celkový integrál. Potom vydeľte prostredníctvom \delta\zeta \! aby ste dostali:

0 = - \mu [\vec{x},t] + {1 \over 4 \pi G} \nabla \cdot \nabla \zeta [\vec{x},t]

a tak

4 \pi G \mu [\vec{x},t] = \nabla^2 \zeta [\vec{x},t]

čo dáva Gaussov zákon pre gravitáciu.

Elektomagnetizmus v špeciálnej relativite[upraviť | upraviť zdroj]

Interakčný pojem - q \phi [\vec{x}[t],t] + q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t] je nahradený pojmami zahŕňajúcimi kontinuálnu hustotu náboja \rho \! coulombov na meter kubický a aktuálnu hustotu \vec{j} \! ampérov na meter štvorcový. Výsledný lagrangeián pre elektromagnetickú pole je:

\mathcal{L}[\vec{x},t] = - \rho [\vec{x},t] \phi [\vec{x},t] + \vec{j} [\vec{x},t] \cdot \vec{A} [\vec{x},t] + {\epsilon_0 \over 2} {E}^2 [\vec{x},t] - {1 \over {2 \mu_0}} {B}^2 [\vec{x},t] .

Variujúc toto s ohľadom na \phi \!, dostávame

0 = - \rho [\vec{x},t] + \epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} [\vec{x},t]

čo dáva Gaussov zákon.

Variujúc namiesto toho s ohľadom na \vec{A}, dostávame

0 = \vec{j} [\vec{x},t] + \epsilon_0 \partial_t \vec{E} [\vec{x},t] - {1 \over \mu_0} \nabla   \times \vec{B} [\vec{x},t]

čo dáva Ampèrov zákon.

Elektromagnetizmus vo všeobecnej relativite[upraviť | upraviť zdroj]

Pre lagrangeián gravitácie vo všeobecnej relativite, pozri Einstein-Hilbertova akcia. Lagrangeián elektromagnetického poľa je:

\mathcal{L}[x] = + J^{\gamma}[x] A_{\gamma}[x] 
 - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu}[x] F_{\alpha \beta}[x] g^{\mu\alpha}[x] g^{\nu\beta}[x] \sqrt{\frac{-1}{c^2} \mathrm{det} [g[x]]}.

V štvorrozmerných priestoročasových súradniciach x^{\alpha}\! sú dané arbitrárne jednotky, potom: \mathcal{L} joulsekúnd lagrangeián, skalárna hustota; J^{\gamma}\! coulombov je prúd, vektorová hustota density; a F_{\mu \nu}\! voltsekúnd is elektromagnetický tenzor, kovariantný antisymetrický tenzor radu dva. Všimnite si, že determinant pod znakom druhej odmocniny je aplikovaný na maticu komponentov kovariantného metrického tenzoru g_{\alpha\beta}\!, a g^{\alpha\beta}\! je jeho inverzia. Všimnite si, že jednotky lagrangeiánu sa menia, pretože integrujeme ponad x^0, x^1, x^2, x^3\!, ktoré spú bezjednotkové, a nie ponad t, x, y, z \!, ktoré majú jednotky v sekundometrochkubických. Elektromagnetický tenzor poľa je formovaný antisymetrizáciou čiastkových derivácií electromagnetického vektorové potenciálu; takže to nie je nezávislá premenná. Druhá odmocnina je potrebná na konverziu tohto pojmu na skalárnu hustotu namiesto len skalára a tiež pre kompenzáciu zmien v jednotkách premenných integrácie. Faktor \frac{-1}{c^2} vnútri druhej odmocniny je potrebný na normalizáciu, aby ho druhá odmocnina zredukovala na pojem špeciálnej relativity (keďže determinant je - c^2 \! v špeciálnej relativity).

Lagrangeiány v kvantovej teórii poľa[upraviť | upraviť zdroj]

Diracov lagrangeián[upraviť | upraviť zdroj]

Lagrangeiánska hustota pre Diracove pole je:

\mathcal{L} = \bar \psi (i \hbar c \not\!D - mc^2) \psi

kde \psi\! je Diracov spinor, \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 je jeho Diracova prípojka, D\! je kalibračná koveriantná derivácia, a \not\!D je Feynmanova anotácia pre \gamma^\sigma D_\sigma\!.

Kvantovo elektrodynamický lagrangeián[upraviť | upraviť zdroj]

Lagrangeiánska hustota pre QED je:

\mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!D - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

kde F^{\mu \nu}\! je electromagnetický tenzor.

Kvantovo chromodynamický lagrangeián[upraviť | upraviť zdroj]

Lagrangeiánska hustota pre kvantovú chromodynamiku je [1] [2] [3]:

\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!D - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}

kde D\! je QCD kalibračná kovariantná derivácia, n=1...6 počíta kvarkové typy, a G^\alpha {}_{\mu\nu}\! je gluoónový tenzor silového poľa.

Mathematická formalizácia[upraviť | upraviť zdroj]

predpokladajme, že máme n-dimenzionálnu rozmanitosť, M, a cieľovú rozmanitosť, T. Nech \mathcal{C} je konfiguračný priestor hladké funkcie z M na T.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Matematický vývoj[upraviť | upraviť zdroj]

Uvažujme funkctionálne, \mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}, nazvané akcia. Fyzické dôvody určujú, že to je mapovanie na \mathbb{R}, ne \mathbb{C}.

Za účelom toho, aby akcia bola lokálna, potrebujeme dodatočné obmedzenia ohľadom akcie. Ak \varphi\in\mathcal{C}, predpokladáme, že \mathcal{S}[\varphi] je integrál nad M funkcie \phi, jej derivátov a pozície zvanej lagrangeián, \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x). Inými slovami,

\forall\varphi\in\mathcal{C}, \ \ \mathcal{S}[\varphi]\equiv\int_M \mathrm{d}^nx \mathcal{L} \big( \varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x \big).

Nižšie sa na dôvažok predpokladá, že Lagreangian závisí len na hodnote poľa a jeho prvej derivácii, ale nie od ďalších derivácií.

Za predpokladu hraničných podmienok, v zásade špecifikácia hodnoty \phi na hranici ak M je kompaktný ale bo nejaký limit na \phi keďže x pristupuje \infty (toto pomôže urobiť integráciu po častiach), podpriestoru \mathcal{C} pozostávajúc z funkcií, \phi, t. j. že všetky funkcionálne derivácie na S pri \phi sú nulové a \phi uspokojujúce dané hraničné podmienky je podpriestorom na škrupine riešení.

Riešenie je dané prostredn9ctvom Euler–Lagrangeových rovníc (vďaka hraničným podmienkam),

\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}=-\partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.

Ľavá strana je funkcionálna derivácia akcie s ohľadom \phi.

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  1. TORBY, Bruce (1984). “Energy Methods”, Advanced Dynamics for Engineers. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]