Banachova veta o pevnom bode

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície[upraviť | upraviť zdroj]

Pevný bod[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Pevný bod

Nech f: X \to X je zobrazenie. Bod x \in X nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak f(x) = x \,.

Kontraktívne zobrazenie[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Kontrakcia (matematika)

Nech (X,d)\, je metrický priestor, nech A \subseteq X\,. Nech f: A \to A je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, 0 < L < 1 taká, že pre všetky x_1, x_2 \in A platí

d(f(x_1),f(x_2)) \leq L \cdot d(x_1,x_2).

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre 0 < L < 1.

Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]

Nech (X,d)\, je úplný metrický priestor. Nech f: X \to X je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod u = f(u). Navyše, pre každé x \in X platí f^n(x) \to u pre n \to \infty (symbol f^n\, označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí d(u,f^n(x)) \leq L^n \cdot d(u,x).

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Existencia pevného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

d(f^n(x),f^{n+1}(x)) \leq L^n \cdot d(x,f(x)).

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

d(f^n(x),f^{n+k}(x)) \leq \sum_{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x)) \leq \sum_{i=n}^{n+k-1}L^i \cdot d(x,f(x)) \leq \sum_{i=n}^{\infty}L^i \cdot d(x,f(x)) = \frac{L^n}{1-L} \cdot d(x,f(x)).

Keďže

\lim_{n \to \infty} \frac{L^n}{1-L} \cdot d(x,f(x)) = 0,

je postupnosť \{f^n(x)\}_{n=0}^{\infty} fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru (X,d)\, potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

f(u) = f(\lim_{n \to \infty} f^n(x)) = \lim_{n \to \infty} f^{n+1}(x) = \lim_{n \to \infty}f^n(x) = u,

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Sporom. Nech u \neq v sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

0 < d(u,v) = d(f(u),f(v)) \leq L \cdot d(u,v) < d(u,v),

z čoho d(u,v) < d(u,v), čo je spor.

Rýchlosť konvergencie[upraviť | upraviť zdroj]

Tvrdenie

d(u,f^n(x)) \leq L^n \cdot d(u,x)

dokážeme matematickou indukciou:

  1. Nech n = 1. Potom z kontraktívnosti f:
    d(u,f^n(x)) = d(u,f(x)) = d(f(u),f(x)) \leq L \cdot d(u,x) = L^n \cdot d(u,x).
  2. Nech tvrdenie platí pre n = k. Ukážeme, že platí aj pre n = k + 1:
    d(u,f^{k+1}(x)) = d(f(u),f^{k+1}(x)) \leq L\cdot d(u,f^k(x)) \leq L \cdot L^k \cdot d(u,x) = L^{k+1} \cdot d(u,x).

Aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
  • Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]