Banachova veta o pevnom bode

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície[upraviť | upraviť zdroj]

Pevný bod[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Pevný bod

Nech je zobrazenie. Bod nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak .

Kontraktívne zobrazenie[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Kontrakcia (matematika)

Nech je metrický priestor, nech . Nech je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, taká, že pre všetky platí

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre .

Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je úplný metrický priestor. Nech je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod . Navyše, pre každé platí pre (symbol označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí .

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Existencia pevného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

Keďže

je postupnosť fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Sporom. Nech sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

z čoho , čo je spor.

Rýchlosť konvergencie[upraviť | upraviť zdroj]

Tvrdenie

dokážeme matematickou indukciou:

  1. Nech . Potom z kontraktívnosti f:
  2. Nech tvrdenie platí pre . Ukážeme, že platí aj pre :

Aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
  • Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]