Bilineárna forma

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Bilineárna forma alebo bilineárny funkcionál dvoch premenných je v matematike ľubovoľné zobrazenie z množinovej druhej mocniny daného vektorového priestoru do poľa jeho skalárov, ktoré je lineárne v oboch zložkách. Inými slovami, ide o ľubovoľné bilineárne zobrazenie na danom vektorovom priestore do množiny jeho skalárov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Bilineárna forma na V je zobrazenie B: V \times V \to F také, že platí:

  1. \forall x,y,z \in V: B(x + y,z) = B(x,z) + B(y,z),
  2. \forall x,y \in V \forall \alpha \in F: B(\alpha \cdot x,y) = \alpha B(x,y),
  3. \forall x,y,z \in V: B(x,y + z) = B(x,y) + B(x,z),
  4. \forall x,y \in V \forall \alpha \in F: B(x,\alpha \cdot y) = \alpha B(x,y).

To znamená, že B musí byť v každej svojej zložke lineárne zobrazenie. Oproti definícii bilineárneho zobrazenia sa definícia bilineárnej formy líši tým, že jej obor hodnôt musí byť podmnožinou poľa F.

Druhy bilineárnych foriem[upraviť | upraviť zdroj]

Medzi základné špeciálne druhy bilineárnych foriem patria:

  • Symetrické bilineárne formy, pre ktoré navyše platí \forall x,y \in V: B(x,y) = B(y,x).
  • Antisymetrické bilineárne formy, pre ktoré navyše platí \forall x,y \in V: B(x,y) = -B(y,x).
  • Alternujúce bilineárne formy, pre ktoré navyše platí \forall x \in V: B(x,x) = 0.

Dá sa dokázať, že každá alternujúca bilineárna forma je antisymetrická. Ak má pole F charakteristiku rôznu od 2, je aj každá antisymetrická forma alternujúca.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Shapirov, R. A.: Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry. Bashkir State University - Ufa, 1996.
  • Vopěnka, P.: Analytická geometrie druhé generace. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem, 1998.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]