Kvadratická forma

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Kvadratická forma nad poľom reálnych čísel je v matematike ľubovoľný výraz tvaru

kde sú reálne koeficienty a sú premenné, pre ktoré platí komutatívny zákon . Podobne možno definovať kvadratickú formu nad ľubovoľným poľom, vo fyzike sú obzvlášť dôležité kvadratické formy s komplexnými koeficientami .

Kvadratické formy majú širokú škálu aplikácií. Využívajú sa napríklad v teórii čísel, riemannovskej geometrii, matematickej analýze, algebraickej topológii, Lieovej teórii, ale aj vo fyzike, či chémii, kde zvyknú opisovať energiu systému.

História[upraviť | upraviť zdroj]

V histórii sa pravdepodobne najviac skúmali kvadratické formy s celočíselnými koeficientami. Za matematické výsledky využívajúce kvadratické formy možno z dnešného pohľadu považovať napr. aj problém hľadania pytagorejských trojíc, či Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov.

Ako počiatok moderného výskumu kvadratických foriem možno považovať rok 1801, keď nemecký matematik Carl Friedrich Gauss publikoval knihu o teórii čísel, Disquisitiones Arithmeticae, veľká časť ktorej sa zaoberala binárnymi kvadratickými formami s celočíselnými koeficientami. Odvtedy bol pojem viackrát zovšeobecnený a boli objavené súvislosti napr. s kvadratickými poľami, či modulárnymi grupami.

Rozdelenie kvadratických foriem[upraviť | upraviť zdroj]

Asi najdôležitejšie rozdelenie kvadratických foriem je ich rozdelenie podľa poľa, do ktorého patria koeficienty pri jednotlivých jej členoch. Na základe toho rozlišujeme napr.:

  • Reálne kvadratické formy
  • Komplexné kvadratické formy
  • Celočíselné kvadratické formy
  • Kvadratické formy nad ľubovoľným poľom .

Ďalej možno kvadratické formy rozdeliť podľa počtu premenných na:

  • Unárne kvadratické formy s jednou premennou,
  • Binárne kvadratické formy s dvoma premennými,
  • Ternárne kvadratické formy s troma premennými,
  • -árne kvadratické formy s premennými,
.

Maticový zápis[upraviť | upraviť zdroj]

Každú kvadratickú formu

možno zapísať v tvare súčinu vektora premenných, nejakej matice A a transponovaného vektora premenných, teda

.

Tvrdenie možno overiť priamo, vynásobením týchto matíc. Teda, napríklad kvadratickú formu

možno písať v tvare

.

Ak však prepíšeme tú istú kvadratickú formu ako napr.

,

dostávame maticové vyjadrenie

.

To znamená, že maticový tvar kvadratickej formy nie je jednoznačný. Ale naopak, matica kvadratickej formy určuje danú kvadratickú formu jednoznačne.

Symetrické kvadratické formy[upraviť | upraviť zdroj]

Maticový tvar kvadratickej formy síce nie je jednoznačný, ale vyjadrenie kvadratickej formy pomocou symetrickej matice už jednoznačné je. Navyše, v ľubovoľnom poli s charakteristikou rôznou od 2 (a práve toto je prípad najčastejšie používaných polí, ako napr. reálne čísla alebo komplexné čísla), existuje pre kvadratickú formu vyjadrenie pomocou symetrickej matice.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]