Limitné ordinálne číslo

Limitné ordinálne číslo (iné názvy: limitný ordinál, limitné poriadkové číslo, ordinálne číslo druhého druhu) je ordinálne číslo, ktoré nemá predchodcu a nie je prázdne. Formálnejšie:
Ordinálne číslo $\alpha \,\!$ je limitné, ak
$\alpha \neq 0\land (\forall \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}\neq \alpha )$
On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady

Množina $\omega \,\!$ všetkých prirodzených čísel je limitná - každé menšie ordinálne číslo je konečné a nemôže byť predchodcom $\omega \,\!$ v zmysle vyššie uvedenej definície.

Podobne množina $\omega +\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}\,\!$ je limitná.

Naproti tomu ordinálne čísla $0,1,7,13,\omega +1,\omega .\omega +\omega +15\,\!$ nie sú limitné. 0 nie je limitné z definície a ostatné majú predchodcov $0,6,12,\omega ,\omega .\omega +\omega +14\,\!$ . Takým ordinálnym číslam hovoríme izolované.

Použitie

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcie a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevádzaný zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Limitné ordinálne čísla majú niektoré zaujímavé vlastnosti, ktoré nemajú izolované ordinálne čísla:

Množina všetkých vlastných podmnožín limitného ordinálneho čísla nemá najväčší prvok, ale má supremum - je to tu tak trochu obdoba zhora otvoreného intervalu v reálnych číslach.
Len limitné ordinálne číslo môže byť kardinálnym číslom.

Pozri aj