Limitné ordinálne číslo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Limitné ordinálne číslo (iné názvy: limitný ordinál, limitné poriadkové číslo, ordinálne číslo druhého druhu) je ordinálne číslo, ktoré nemá predchodcu a nie je prázdne. Formálnejšie:
Ordinálne číslo  \alpha \,\! je limitné, ak
 \alpha \neq 0 \and (\forall \beta \isin On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha )
On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Množina  \omega \,\! všetkých prirodzených čísel je limitná - každé menšie ordinálne číslo je konečné a nemôže byť predchodcom  \omega \,\! v zmysle vyššie uvedenej definície.

Podobne množina  \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\! je limitná.

Naproti tomu ordinálne čísla  0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\! nie sú limitné. 0 nie je limitné z definície a ostatné majú predchodcov  0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!. Takým ordinálnym číslam hovoríme izolované.

Použitie[upraviť | upraviť zdroj]

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcie a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevádzaný zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Limitné ordinálne čísla majú niektoré zaujímavé vlastnosti, ktoré nemajú izolované ordinálne čísla:

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]