Okolie (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Okolie bodu je podmnožina topologického priestoru, ktorej otvorená podmnožina obsahuje tento bod. Okolie bodu je taká množina, že aj "blízke" body ležia stále v tejto množine. Pomocou okolia bodu sa dajú definovať pojmy uzáver a vnútro množiny, spojité zobrazenie, limita postupnosti a podobne.

Okolie v množine reálnych čísel[upraviť | upraviť zdroj]

V množine reálnych čísel je ε-okolie (ε > 0) bodu x otvorený interval (x-ε, x+ε).

Prstencové ε-okolie bodu x je potom okolie, ktoré neobsahuje bod x, teda zjednotenie intervalov (x - \epsilon, x) \cup (x, x + \epsilon).

Okolie komplexného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

\delta-okolím komplexného bodu z_0 označujeme všetky body z komplexnej roviny, pre ktoré platí |z - z_0 | < \delta, tzn. body ležiace na komplexnej rovine vo vnútri kružnice so stredom v bode z_0 a polomerom \delta.

Okolie v metrických priestoroch[upraviť | upraviť zdroj]

V metrickom priestore X máme pomocou metriky d definovanú vzdialenosť bodov a zavádzame \epsilon-okolie bodu x ako

U_{\epsilon} (x) = \{y \in X: d(x, y) < \epsilon \}

Všeobecná definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Podmnožinu U topologického priestoru (X, \tau) nazveme okolím bodu x, ak existuje otvorená podmnožina O \in \tau taká, že x \in O. Okolie bodu x označujeme U(x).

Pretože vnútrajšok množiny je jej najväčšia otvorená podmnožina, je množina U(x) okolím bodu x práve vtedy, keď x leží v jej vnútri.