Opísaná kružnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Opísaná kružnica je kružnica, na ktorej ležia všetky vrcholy rovinného útvaru.

Kružnica opísaná trojuholníku[upraviť | upraviť zdroj]

Stred kružnice opísanej trojuholníku je priesečník osí strán trojuholníka, polomer sa rovná vzdialenosti stredu od ľubovoľného vrcholu. Každému trojuholníku možno opísať kružnicu.

Vlastnosti opísanej kružnice trojuholníka[upraviť | upraviť zdroj]

r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}.
Opísaná kružnica trojuholníka a jej konštrukcia
Opísaná kružnica k (S;r)
osi strán o^a, o^b, o^c
stred kružnice S \in \cap o^a \cap o^b \cap o^c
polomer kružnice r=|AS|

Simsonova priamka[upraviť | upraviť zdroj]

Opísaná kružnica a Simsonova priamka

Ak z ľubovoľného bodu X opísanej kružnice vedieme kolmicu k jednotlivým stranám, päty kolmíc ležia na priamke. Nazýva sa Simsonova priamka. Ak tento bod X spojíme s ortocentrom (priesečník výšok trojuholníka), potom Simsonova priamka prechádza stredom tejto úsečky. Simsonova priamka sa volá podľa anglického matematika Roberta Simsona (1687-1768). Niekedy sa označuje aj ako Wallaceova priamka.

Popis obrázka[upraviť | upraviť zdroj]

Opísaná kružnica a Simsonova priamka:

  • ABC
  • a, b, c – strany
  • oa, ob, oc - osi strán,
  • O – priesečník osí strán (stred opísanej kružnice),
  • X – ľubovoľný bod, ležiaci na opísanej kružnici
  • ka, kb, kc – kolmica na strany, vedená z bodu X
  • Sa, Sb, Sc – päty kolmíc ka, kb, kc
  • s – Simsonova priamka
  • va, vb, vc – výšky,
  • V – priesečník výšok (ortocentrum)
  • S – stred úsečky VX

Tálesova kružnica[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Tálesova veta

Opísaná kružnica pravouhlého trojuholníka sa nazýva Tálesova kružnica. Stred Tálesovej kružnice leží v strede prepony trojuholníka. Ak máme napr. trojuholník ABC, hovoríme, že Tálesova kružnica je zostrojená nad priemerom AB.

Pre každú úsečku AB platí, že Tálesova kružnica zostrojená nad priemerom AB (s vybraním bodov A a B) je množinou vrcholov C všetkých pravouhlých trojuholníkov ABC s preponou AB.

Kružnica opísaná štvoruholníku[upraviť | upraviť zdroj]

Stred opísanej kružnice štvorca alebo obdĺžnika je priesečník uhlopriečok daného rovnobežníka.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Kružnice opsaná na českej Wikipédii.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha : Nakladatelství technické literatury, 1988.