Studentovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je náhodná premenná, nech je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

pre . Označenie označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

Beta funkciu vo vzorci označuje a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia[upraviť | upraviť zdroj]

Náhodnú premennú , ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má -rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné: a , pričom má normálne normované rozdelenie a -rozdelenie s stupňami voľnosti, teda: a , pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná definovaná vzťahom:

má Studentovo rozdelenie s stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber z normálneho rozdelenia . Nech . Potom náhodná premenná , ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

má Studentovo rozdelenie s stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: a z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber je z rozdelenia a náhodný výber je z rozdelenia (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech a sú výberové priemery a a sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

má Studentovo rozdelenie s stupňami voľnosti. Premenná vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode . Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

pre .

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

  • Ak , potom:
  • Ak , potom

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

Kritická hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s stupňami voľnosti. Potom hodnotu , ktorú náhodná premenná v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Student's t-distribution na anglickej Wikipédii.