Einsteinova sumačná konvencia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V matematike a fyzike, špeciálne tam, kde sa uplatňuje lineárna algebra, Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein r. 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

y=c_ix^i\

automaticky znamená

y=\sum_{i=1}^3 c_ix^i=c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3.

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme priestor s metrickým tenzorom g_{ij}, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

g^{ac}g_{cb}:=\delta^a_b,

kde \delta^a_b je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak a=b a rovný 0, ak a\neq b). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

\sharp_g\,:\quad\alpha_a\mapsto\alpha^a:=g^{ab}\alpha_b
\flat_b\,:\quad v^a\mapsto v_a:=g_{ab}v^b

Veličinám v_a,v^a sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora v. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore g_{ab}=\delta_{ab}, čísla v_a a v^a sú rovnaké, pre každé v. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov[upraviť | upraviť zdroj]

V každom vektorovom priestore Vsi možno zvoliť bázu. Ak \dim V=n, tak báza má n bázových prvkov e_i a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent v^i. Zapisuje sa teda

v=\sum_{i=1}^{n}v^ie_i=v^ie_i=\left(\begin{array}{c}v_1\\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor V^\ast lineárnych zobrazení V\to\mathbb{R} (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza e^i. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

\langle e^i,e_j\rangle := e^i(e_j)=\delta_j^i.

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

\alpha = \sum_{i=1}^{n}\alpha_ie^i = \alpha_i e^i = \left(\alpha_1\, \alpha_2\, \cdots \, \alpha_n\right)

Bežné operácie[upraviť | upraviť zdroj]

Operácie s vektormi[upraviť | upraviť zdroj]

Skalárny súčin dvoch vektorov u,vmožno zapísať ako

h(u,v)= h_{ij}u^i v^j,

kde h_{ij} je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

h(u,v)= u_iv^i = u^iv_i

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

(u\times v)_i=\varepsilon_{ijk} u^j v^k,

kde \varepsilon_{ijk} je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, \varepsilon_{123}=1.

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom g_{ij} sa počíta ako

\|v\|=\sqrt{g_{ij}v^iv^j}=\sqrt{v_iv^i}.

Operácie s operátorom \nabla[upraviť | upraviť zdroj]

\nabla (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right),

ktoré budeme označovať ako \partial_i. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

\left(\textrm{grad}\, h\right)_i = \left(\nabla h\right)_i=\partial_i h
\left(\textrm{rot}\,\textbf{A}\right)_i=\left(\nabla\times\textbf{A}\right)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k
\textrm{div}\,\textbf{A}=\nabla\cdot\textbf{A}=\partial_iA_i
\triangle \textbf{A} = \partial_i \partial_i \textbf{A}

Maticové operácie[upraviť | upraviť zdroj]

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

(\textbf{A}\cdot\textbf{B})^i_j=A^i_k B^k_j

Stopa matice

\textrm{Tr}\textbf{A}=A^i_i

Matematické aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

\textbf{e}_i\cdot\textbf{e}_j=\delta_{ij} (ortonormovanosť bázy)
\textbf{e}_i\times\textbf{e}_j=\varepsilon_{ijk}\textbf{e}_k (pravotočivosť bázy)
\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij} (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm} (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

Fyzikálne aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

\sigma_{ij}=c_{ijkl}\varepsilon_{kl},

kde \sigma{ij} je tenzor napätia, \varepsilon_{kl} tenzor deformácie a tenzor c_{ijkl} je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má 3^4=81 komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.


\varrho\left(\partial_tv_i+v_i\partial_jv_j\right)=\partial_j\sigma_{ij}+f_i,

kde \partial_t označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda t neznamená voľný index.


\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right),

kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.


  • Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom
R^i_{\,jkl}=\Gamma^i_{jl,k}-\Gamma^i_{jk,l}+\Gamma^m_{jl}\Gamma^i_{mk}-\Gamma^m_{jk}\Gamma^i_{ml}

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]