Einsteinova sumačná konvencia

V matematike a fyzike, špeciálne tam, kde sa uplatňuje lineárna algebra, Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein r. 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

$y=c_ix^i\$

automaticky znamená

$y=\sum_{i=1}^3 c_ix^i=c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3.$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom $g_{ij}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

$g^{ac}g_{cb}:=\delta^a_b,$

kde $\delta^a_b$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak $a=b$ a rovný 0, ak $a\neq b$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

$\sharp_g\,:\quad\alpha_a\mapsto\alpha^a:=g^{ab}\alpha_b$

$\flat_b\,:\quad v^a\mapsto v_a:=g_{ab}v^b$

Veličinám $v_a,v^a$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora $v$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore $g_{ab}=\delta_{ab}$, čísla $v_a$ a $v^a$ sú rovnaké, pre každé $v$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov

V každom vektorovom priestore $V$si možno zvoliť bázu. Ak $\dim V=n$, tak báza má $n$ bázových prvkov $e_i$ a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent $v^i$. Zapisuje sa teda

$v=\sum_{i=1}^{n}v^ie_i=v^ie_i=\left(\begin{array}{c}v_1\\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)$

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor $V^\ast$ lineárnych zobrazení $V\to\mathbb{R}$ (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza $e^i$. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

$\langle e^i,e_j\rangle := e^i(e_j)=\delta_j^i.$

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

$\alpha = \sum_{i=1}^{n}\alpha_ie^i = \alpha_i e^i = \left(\alpha_1\, \alpha_2\, \cdots \, \alpha_n\right)$

Bežné operácie

Operácie s vektormi

Skalárny súčin dvoch vektorov $u,v$možno zapísať ako

$h(u,v)= h_{ij}u^i v^j$,

kde $h_{ij}$ je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

$h(u,v)= u_iv^i = u^iv_i$

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

$(u\times v)_i=\varepsilon_{ijk} u^j v^k$,

kde $\varepsilon_{ijk}$ je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, $\varepsilon_{123}=1$.

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom $g_{ij}$ sa počíta ako

$\|v\|=\sqrt{g_{ij}v^iv^j}=\sqrt{v_iv^i}$.

Operácie s operátorom $\nabla$

$\nabla$ (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

$\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right),$

ktoré budeme označovať ako $\partial_i$. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

$\left(\textrm{grad}\, h\right)_i = \left(\nabla h\right)_i=\partial_i h$

$\left(\textrm{rot}\,\textbf{A}\right)_i=\left(\nabla\times\textbf{A}\right)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k$

$\textrm{div}\,\textbf{A}=\nabla\cdot\textbf{A}=\partial_iA_i$

$\triangle \textbf{A} = \partial_i \partial_i \textbf{A}$

Maticové operácie

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

$(\textbf{A}\cdot\textbf{B})^i_j=A^i_k B^k_j$

Stopa matice

$\textrm{Tr}\textbf{A}=A^i_i$

Matematické aplikácie

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

$\textbf{e}_i\cdot\textbf{e}_j=\delta_{ij}$ (ortonormovanosť bázy)

$\textbf{e}_i\times\textbf{e}_j=\varepsilon_{ijk}\textbf{e}_k$ (pravotočivosť bázy)

$\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij}$ (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$ (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

$\textbf{a}\times\left(\textbf{b}\times \textbf{c}\right)=\left(\textbf{a}\cdot \textbf{c}\right)\textbf{b}-\left(\textbf{a}\cdot \textbf{b}\right)\textbf{c}\,$

Pre $i$-tu zložku vektora vľavo dostávame $\left(\textbf{a}\times\left(\textbf{b}\times \textbf{c}\right)\right)_i\,$ $=\varepsilon_{ijk}a_j\left(\textbf{b}\times\textbf{c}\right)_k$ $=\varepsilon_{ijk}a_j\varepsilon_{klm}b_lc_m\,$ $=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}a_jb_lc_m\,$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. $\left(\textbf{a}\times\left(\textbf{b}\times \textbf{c}\right)\right)_i\,$ $=\left(\delta_{il}\delta{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)a_jb_lc_m$ $\stackrel{(1)}{=}a_jb_ic_j-a_jb_jc_i$ $=\left(\textbf{a}\cdot\textbf{c}\right)b_i-\left(\textbf{a}\cdot\textbf{b}\right)c_i$ V úprave (1) sme použili ortonormovanosť bázy, teda $\delta_{ij}v_i=v_j$. Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v $i$-tej zložke. Index $i$ ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu.

$\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)\cdot\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)=\left(\textbf{a}\cdot \textbf{c}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{d}\right)-\left(\textbf{a}\cdot \textbf{d}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{c}\right)\,$

V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin $\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)\cdot\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)\,$ $=\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)_i\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)_i$ $=\varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{ilm}c_ld_m,$ $=\varepsilon_{jki}\varepsilon_{lmi}a_jb_kc_ld_m\,$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. $\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)\cdot\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)\,$ $=\left(\delta_{jl}\delta{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\right)a_jb_kc_ld_m$ $=a_jb_kc_jd_k-a_jb_jc_kd_j$ $=\left(\textbf{a}\cdot\textbf{c}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{d}\right)-\left(\textbf{a}\cdot \textbf{d}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{c}\right)$

$\nabla\times\nabla\times\textbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)-\triangle\textbf{A}\,$

Pre $i$-tu zložku vektora vľavo platí $\left(\nabla\times\nabla\times\textbf{A}\right)_i\,$ $=\varepsilon_{ijk}\partial_j\left(\nabla\times\textbf{A}\right)_k$ $=\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}\partial_lA_m,$ Keďže $\varepsilon_{klm}$ je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie $\partial_j$. Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu. $\left(\nabla\times\nabla\times\textbf{A}\right)_i\,$ $=\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)\partial_j\partial_lA_m$ $=\partial_j\partial_iA_i-\partial_j\partial_jA_i$ Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť. $\left(\nabla\times\nabla\times\textbf{A}\right)_i\,$ $=\partial_i\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)-\left(\triangle\textbf{A}\right)_i$ $=\left(\nabla\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)\right)_i-\left(\triangle\textbf{A}\right)_i$ Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí.

Fyzikálne aplikácie

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

• Hookov zákon v tenzorovom tvare

$\sigma_{ij}=c_{ijkl}\varepsilon_{kl},$

kde $\sigma{ij}$ je tenzor napätia, $\varepsilon_{kl}$ tenzor deformácie a tenzor $c_{ijkl}$ je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má $3^4=81$ komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

• Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako

$\varrho\left(\partial_tv_i+v_i\partial_jv_j\right)=\partial_j\sigma_{ij}+f_i$,

kde $\partial_t$ označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda $t$ neznamená voľný index.

• Christoffelove symboly (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom

$\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right),$

kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

• Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

$R^i_{\,jkl}=\Gamma^i_{jl,k}-\Gamma^i_{jk,l}+\Gamma^m_{jl}\Gamma^i_{mk}-\Gamma^m_{jk}\Gamma^i_{ml}$

Referencie

• M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~fecko/teormech/primech7.pdf
• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.