Fourierov rad

Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži k zápisu periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale $[-\pi,\pi]$ a skalárnym súčinom je integrál:

$(f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)dt$

Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie

$[-\pi,\pi]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt, \ \ \ n\in\mathbb{N}$

ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu $f:\ [-\pi,\pi]\to \mathbb{R}$ vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku $e$ je daná vzťahom

$f_e=\frac{(f,e)}{(e,e)} .$

Keďže $(1,1)=2\pi, (\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi$ tak funkcii $f$ priraďujeme jej Fourierov rad

$f(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}[ a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)],$

ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami

$a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{(kx)}dx, \ \ \ k=0,1,2,\dots$,

$b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots$.

Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou $f$ a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledovné tvrdenie: ak je funkcia $f$ ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusi (v niektorom bode) vôbec konvergovať.

V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

Pozri aj

• Fourierova transformácia