Asymptotická hustota

Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota $d(A)$ množiny $A$ prirodzených čísel definovaná vzťahom

d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}

kde $A(n)=\left|A\cap \{1,2,3,\ldots ,n\}\right|$ je počet všetkých prvkov množiny $A$ , ktoré sú menšie než prirodzené číslo $n$ . Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina $A$ má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustota

Horná asymptotická hustota podmnožiny $A$ prirodzených čísel je číslo

{\overline {d}}(A)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

{\underline {d}}(A)=\liminf _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}.

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady

Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti {an+b} s diferenciou a má asymptotickú hustotu 1/a.
Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je

A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\in \mathbb {N} \,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\leq n\leq 2^{2n+1}\}

.

O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

Vlastnosti

Ak množina $A$ má asymptotickú hustotu, potom platí $d(A^{c})=1-d(A)$ , kde $A^{c}$ je komplement množiny $A$ vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme ${\overline {d}}(A^{c})=1-{\underline {d}}(A)$ .
Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí $0\leq {\underline {d}}(A)\leq {\underline {d}}(B)\leq 1$ .
Pre disjunktné množiny $A,B\subseteq \mathbb {N}$ platí