Einsteinova sumačná konvencia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V matematike a fyzike, špeciálne tam, kde sa uplatňuje lineárna algebra, Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein r. 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

automaticky znamená

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme priestor s metrickým tenzorom , zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

kde je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak a rovný 0, ak ). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

Veličinám sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora . V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore , čísla a sú rovnaké, pre každé . Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov[upraviť | upraviť zdroj]

V každom vektorovom priestore si možno zvoliť bázu. Ak , tak báza má bázových prvkov a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent . Zapisuje sa teda

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor lineárnych zobrazení (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza . Je to zobrazenie, pre ktoré platí

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

Bežné operácie[upraviť | upraviť zdroj]

Operácie s vektormi[upraviť | upraviť zdroj]

Skalárny súčin dvoch vektorov možno zapísať ako

,

kde je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

,

kde je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, .

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom sa počíta ako

.

Operácie s operátorom [upraviť | upraviť zdroj]

(nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

ktoré budeme označovať ako . Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

Maticové operácie[upraviť | upraviť zdroj]

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

Stopa matice

Matematické aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

(ortonormovanosť bázy)
(pravotočivosť bázy)
(vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)
(Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

Fyzikálne aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

kde je tenzor napätia, tenzor deformácie a tenzor je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.


,

kde označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda neznamená voľný index.


kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.


  • Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]