Fourierov rad

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži k zápisu periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale  [-\pi,\pi] a skalárnym súčinom je integrál:

 (f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)dt

Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie

[-\pi,\pi]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt, \ \ \ n\in\mathbb{N}

ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu  f:\ [-\pi,\pi]\to \mathbb{R} vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku  e je daná vzťahom

 f_e=\frac{(f,e)}{(e,e)} .

Keďže  (1,1)=2\pi, (\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi tak funkcii  f priraďujeme jej Fourierov rad

 f(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}[ a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)],

ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami

a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{(kx)}dx, \ \ \ k=0,1,2,\dots ,
b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots .

Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou  f a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledovné tvrdenie: ak je funkcia  f ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusi (v niektorom bode) vôbec konvergovať.


V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]