Fourierov rad

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži k zápisu periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale a skalárnym súčinom je integrál:

Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie

ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku je daná vzťahom

Keďže tak funkcii priraďujeme jej Fourierov rad

ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami

,
.

Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledovné tvrdenie: ak je funkcia ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusi (v niektorom bode) vôbec konvergovať.


V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]