Fourierov rad
Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži na zápis periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale a skalárnym súčinom je integrál:
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt,\ \ \ n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49312a6b4e8b2db3e197090031dde6743131b67d)
ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku je určená vzťahom
![{\displaystyle f:\ [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cc8f51db25305641024f8de9ecb9823aa373b4)
Keďže , tak funkcii priraďujeme jej Fourierov rad
![{\displaystyle f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad523109fe1402e398f3574ac97d976cfa2d2628)
ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami
- ,
- .
Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledujúce tvrdenie: Ak je funkcia ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu, tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusí (v niektorom bode) vôbec konvergovať.
V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.