Portál:Matematika/Odporúčané články/2007
2007[upraviť zdroj]
1 2007[upraviť zdroj]
Výraz pod odmocninami pokračuje do nekonečna :
Po umocnení a úprave :
Riešenie kvadratickej rovnice :
Dáva výsledok v ktorom je akceptovatelný len kladný koreň :
33 2007[upraviť zdroj]
Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálne čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak zadefinujeme číslo i, ako riešenie rovnice , tak všetky polynomiálne rovnice riešenie mať budú.
Väčšina ľudí pozná iba reálne čísla. Nachádzajú sa v jednom rade usporiadané podľa veľkosti. Tento rad reálnych čísel nazývame číselná os. Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna až po plus nekonečno. Keď si túto os predstavíme ako priamku, ktorá leží v rovine, logicky sa spýtame, či aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky môžeme nájsť nejaké čísla.
Ukazuje sa, že áno. Aj v iných miestach roviny sa nachádzajú čísla. Tieto čísla nazývame imaginárne čísla. Dokopy so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorú budeme pokladať za os x (reálna os) a na ňu kolmá os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].
34 2007[upraviť zdroj]
Lebesgueov integrál alebo L-integrál označuje v matematike definíciu určitého integrálu, založenú na teórii miery, konkrétne tzv. Lebesgueovej miery.
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, čo v praxi znamená, že ak existuje Riemannov integrál, tak existuje tiež Lebesgueov integrál, pričom hodnoty oboch integrálov sú zhodné. Ak Riemannov integrál neexistuje, môže existovat integrál Lebesgueov. Opačné tvrdenie však neplatí (napr. Dirichletova funkcia, ktorej funkčná hodnota je 1 ak je argument racionálne číslo a je rovná 0 ak je argumentom iracionálne číslo, má Lebesgueov integrál, ale nemá Riemannov integrál).
Lebesgueov integrál je pomenovaný po francúzskom matematikovi Henri Lebesgueovi.
35 2007[upraviť zdroj]
Lebesgueov integrál alebo L-integrál označuje v matematike definíciu určitého integrálu, založenú na teórii miery, konkrétne tzv. Lebesgueovej miery.
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, čo v praxi znamená, že ak existuje Riemannov integrál, tak existuje tiež Lebesgueov integrál, pričom hodnoty oboch integrálov sú zhodné. Ak Riemannov integrál neexistuje, môže existovat integrál Lebesgueov. Opačné tvrdenie však neplatí (napr. Dirichletova funkcia, ktorej funkčná hodnota je 1 ak je argument racionálne číslo a je rovná 0 ak je argumentom iracionálne číslo, má Lebesgueov integrál, ale nemá Riemannov integrál).
Lebesgueov integrál je pomenovaný po francúzskom matematikovi Henri Lebesgueovi.
36 2007[upraviť zdroj]
Euklidovská geometria je matematická teória, ktorej základy položil grécky matematik Euklides z Alexandrie. Euklidove zväzky Základy boli prvou systematickou diskusiou geometrie. Bol to jeden z najvplyvnejších súborov kníh v histórii, tak kvôli jeho metóde, ako aj matematickému obsahu. Metóda pozostáva z predpokladu niekoľkých intuitívne platných axiómov a dôkazu množstva iných tvrdení (viet) z týchto axiómov. Aj keď veľa z Euklidových výsledkov bolo známych gréckym mamematikom pred ním, Euklid bol prvý, ktorý ukázal ako tieto tvrdenia tvoria spolu komplexný deduktívny systém.
Základy začínajú geometriou v rovine, ktorá sa stále učí na stredných školách ako prvý axiomatický systém a prvé príklady formálnych dôkazov. Neskôr Euklides popisuje geometriu telies v troch rozmeroch a následne rozširuje na ľubovoľný konečný počet rozmerov. Mnoho z výsledkov v Základoch sú dnes tvrdeniami v teórii, ktorú voláme teória čísel a Euklides ich dokazoval geometrickými metódami.
Po vyše dvetisíc rokov bolo prídavné meno „euklidovská“ zbytočné, pretože sme nepoznali žiadnu inú geometriu. Euklidove axiómy sa zdali tak intuitívne samozrejmé, že každá veta z nich dokázaná sa považovala za pravdivú v absolútnom zmysle. Dnes však poznáme mnoho iných konzistentných formálnych geometrií, z ktorých prvé boli zostrojené v začiatkoch 19. storočia. V dnešnej dobe už ani nepovažujeme euklidovskú geometriu za tak samozrejmú pre popis fyzikálneho priestoru. Dôsledok Einsteinovej všeobecnej teórie relativity je, že euklidovská geometria je výborná aproximácia vlastností fyzikálneho priestoru, ale len v prípadoch, keď gravitačná sila nie je príliš silná.
43 2007[upraviť zdroj]
Penroseov trojuholník (nazývaný takisto tribar) je asi najznámejší obrázok grafického paradoxu. Ukazuje tri trámy, ktoré sú vzájomne spojené v pravých uhloch a napriek tomu tvoria trojuholník. Tým samozrejme porušujú niekoľko zákonov euklidovskej geometrie. Medzi inými aj zákon, ktorý hovorí, že súčet uhlov v každom trojuholníku je 180°. Pozorovateľ tohto telesa len ťažko znovu a znovu interpretuje daný tvar a pred očami sa míhajú rôzne interpretácie jednotlivých častí – dĺžky a umiestnenia v priestore.
Tribar sa po prvýkrát objavil v roku 1934 v diele švédskeho umelca Reutersvärda. Jeho dielo ale ostalo prakticky až do 80. rokov 20. storočia neznáme.
Druhýkrát sa objavil tribar v roku 1954. Vtedy sa ním zaoberal matematik Roger Penrose, ktorý teleso objavil na výstave obrazov holandského grafika M. C. Eschera. Inšpirovaný Escherovými obrazmi sa pokúsil sám zostrojiť ďalšie paradoxné obrazy. Spoločne so svojím otcom Lionelem Penrosom, ktorý zkonštruoval nekonečné schodisko, publikoval v roku 1958 článok o tribare v britskom časopise Journal of Psychology.