Teória miery

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity. Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.

Míra[upraviť | upraviť zdroj]

Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme merateľný priestor . Množinovú funkciu nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:

  • Miera prázdnej množiny je nulová: .
  • Miera je vždy nezáporná:
  • σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách platí

Trojicu potom nazývame priestor s mierou.

Vlastnosti miery[upraviť | upraviť zdroj]

  • Pre postupnosť množín platí:
  • Pre postupnosť podmnožín platí:
  • Naopak pre postupnosť nadmnožín: pokiaľ potom platí:

Príklady mier[upraviť | upraviť zdroj]

  • Diracova miera : Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom: