Sigma-algebra

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Sigma-algebra alebo -algebra je v matematike teoretický koncept výberu podmnožín danej množiny, ktorý umožňuje napríklad zaviesť koncept miery, čo sa využíva predovšetkým v matematickej analýze na zavedenie pojmu integrál a v teórii pravdepodobnosti na budovanie teórie pravdepodobnostných priestorov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

-algebra je usporiadaná dvojica , kde je ľubovoľná množina a , pričom platí:

  • ,
  • ak , potom aj ,
  • ak je postupnosť množín z , potom .

( je zápis pre potenčnú množinu množiny .)

Keďže triviálna -algebra (v ktorej ) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou ).

Na -algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • najjednoduchšia -algebra nad ľubovoľnou množinou : ,
  • ,
  • , kde je ľubovoľná nespočítateľná množina a je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
  • Borelova -algebra (-algebra borelovských množín) je -algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Nie je ťažké ukázať, že každá -algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú -algebru platia nasledujúce tvrdenia:

  • ak , potom ,
  • ak , potom ,
  • ak , potom .

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá -algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik -algebier (teda pre -algebry a ) je znova -algebra.

Sigma-algebra generovaná množinou[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme danú nejakú množinu , je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou nemusia tvoriť -algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia -algebra obsahujúca celú množinu .

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina a množina . Nech (teda je prienik všetkých systémov podmnožín množiny , ktoré obsahujú , a súčasne je -algebra). Potom hovoríme, že -algebra je -algebra generovaná množinou (systémom množín) .

Významným príkladom -algebry generovanej množinou je -algebra borelovských množín.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]