Osová súmernosť

Osová súmernosť v prírode

Osová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený osou o, je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Osová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly.

Veta

Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo invariantná, a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom os úsečky AA'.

Osová súmernosť

Príklady osí súmerností objektov

• Osová súmernosť roviny alebo priestoru s priamkou o ako osou (súmernosti) je zobrazenie, ktoré zobrazuje prvky osi o na sebe samej a bod $A$ ležiaci mimo os o s priemetom $S$ do osi o na bod $A^{\prime }$, ktorý sa nachádza na polpriamke opačnej k $SA$ v rovnakej vzdialenosti od $S$ ako bod $A$ čiže matematicky $|SA|=|SA^{\prime }|$

Vlastnosti

• Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame os objektu.
• Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojim obrazom.
• Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojim obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body.
• Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. $|SA|=const+|SA^{\prime }|$
• Osová súmernosť je involúciou.
• Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).
• Každá priamka kolmá na os súmernosti je invariantná.
• Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba inverzným obrazom - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká identita.
• Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.
• Osová súmernosť je v priestore zhodná s otočením o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
• Body ležiace na osi súmernosti sú samodružnými bodmi. Všetky priamky kolmé k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.

Príklad

• Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. rovnostranný trojuholník má tri osi súmernosti, štvorec štyri, pravidelný šesťuholník šesť.
• Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.
• Rovnoramenný trojuholník, ktorý nie je rovnostranný, má jednu os súmernosti.
• Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
• Hyperbola, elipsa a parabola sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.
• Kocka, guľa, kužeľ a valec sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.
• Ihlan je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.

Súvisiace články

• Stredová súmernosť
• Rovinná súmernosť
• Zhodné zobrazenie