Stredová súmernosť

Stredová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený bodom S, je také zhodné zobrazenie v rovine, alebo v trojrozmernom priestore, ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A, S]=[A’,S] a úsečka [A, A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. Stredová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly, ide teda o jedno zo zhodných zobrazení v rovine (alebo priestore).

Definícia

Stredová súmernosť priamky, roviny alebo priestoru so stredom v bode $S$ (tzv. stred súmernosti) je také zobrazenie, ktoré zobrazuje stred $S$ na seba samého a bod $A$ rôzny od $S$ na bod $A^{\prime }$ , ktorý sa nachádza na polopriamke opačnej k $SA$ v rovnakej vzdialenosti od $S$ ako bod $A$ (čiže pre neho platí $|SA|=|SA^{\prime }|$ ).

Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za stredovo súmerný, pokiaľ je v nejakej stredovej súmernosti obrazom samého seba. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu.

Príklady

Príklady bodovej symetrie v rovine

Úsečka alebo zjednotenie dvoch úsečiek rovnakej dĺžky je príkladom stredovo súmerných objektov na priamke.
- Oproti tomu žiadna polpriamka nie je na priamke stredovo súmerná.
Obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník a kruh sú príkladmi stredovo súmerných geometrických útvarov v rovine.
- Oproti tomu žiaden mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov (napr. trojuholník) nie je stredovo súmerný.
Hyperbola a elipsa sú stredovo súmerné rovinné útvary, ale parabola stredovo súmerná nie je.
Kocka, guľa, valec sú stredovo súmerné geometrické objekty v priestore.
- Naproti tomu žiaden ihlan ani kužeľ nie je stredovo súmerný.

Vlastnosti

Stredová súmernosť s pevne daným stredom je sama sebe inverzným zobrazením. Zložením dvoch stredových súmerností s rovnakým stredom vzniká identita.

Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu – pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre osovú súmernosť).

Stredová súmernosť so stredom v bode $S$ je v rovine zhodná s otočením o 180 stupňov podľa stredu $S$ . V priestore, nemá zmysel hovoriť o otočení okolo bodu, ale iba okolo osi.

Stredová súmernosť je involúciou, pretože bod $S$ je samodružný a každá priamka prechádzajúca týmto bodom je taktiež samodružná.^[1]^[2]^[3]

Pozri aj

Referencie

↑ J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-12-01]. ISBN 80-8078-091-9.
↑ M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-12-01]. ISBN 978-80-561-0058-5.
↑ P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-12-01].

[1] J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-12-01]. ISBN 80-8078-091-9.

[2] M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-12-01]. ISBN 978-80-561-0058-5.

[3] P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-12-01].

[1]

[2]

[3]