Stredová súmernosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Stredovo súmerný útvar

Stredová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený bodom S, je také zhodné zobrazenie v rovine, alebo v trojrozmernom priestore, ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A, S]=[A’,S] a úsečka [A, A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. Stredová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly, ide teda o jedno zo zhodných zobrazení v rovine (alebo priestore).

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Stredová súmernosť

Stredová súmernosť priamky, roviny alebo priestoru so stredom v bode S (tzv. stred súmernosti) je také zobrazenie, ktoré zobrazuje stred S na seba samého a bod A rôzny od S na bod A^\prime, ktorý sa nachádza na polopriamke opačnej k SA v rovnakej vzdialenosti od S ako bod A (čiže pre neho platí |SA| = |SA^\prime|).

Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za stredovo súmerný, pokiaľ je v nejakej stredovej súmernosti obrazom samého seba. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Príklady bodovej symetrie v rovine

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Stredová súmernosť s pevne daným stredom je sama sebe inverzným zobrazením. Zložením dvoch stredových súmerností s rovnakým stredom vzniká identita.

Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu – pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre osovú súmernosť).

Stredová súmernosť so stredom v bode S je v rovine zhodná s otočením o 180 stupňov podľa stredu S. V priestore, nemá zmysel hovoriť o otočení okolo bodu, ale iba okolo osi.

Stredová súmernosť je involúciou, pretože bod S je samodružný a každá priamka prechádzajúca týmto bodom je taktiež samodružná.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]