Logaritmus

Graf prirodzeného logaritmu y=log_e x, inak zapísané y = ln x

Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y, pre ktoré platí:

$x=a^{y}\,$

a označujeme ho symbolicky

$y=\log _{a}x\,$,

kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu

$y=\log _{a}x\,$

kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a. Definičný obor funkcie je interval $\left(0;\infty \right)$, obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

• klesajúca, ak $a\in \left(0,1\right)$
• rastúca, ak $a\in \left(1,\infty \right)$

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi $\left[1;0\right]$ a $\left[a;1\right]$.

Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

$y=\log x$

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e (Eulerovo číslo). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

$y=\ln x$

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

$y=\lg x$

Vlastnosti

Pre $a,x,y>0,a\neq 1,r\in \mathbb {R}$ platí:

• $\log _{a}a^{x}=a^{\log _{a}x}=x,$

• $\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}xy,\,$

• $\log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}{\frac {x}{y}}$

• $\log _{a}x^{r}=r\log _{a}x\,$

• $\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$, kde $b>0,b\neq 1$