Eulerovo číslo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Číslo e alebo Eulerovo číslo (podľa švajčiarskeho matematika Leonharda Eulera, prípadne aj Napierova konštanta podľa škótskeho matematika Johna Napiera, ktorý zaviedol logaritmy) je matematická konštanta a základ prirodzeného logaritmu. Popri π a imaginárnej jednotke i, je e jedno z najvýznamnejších čísel v matematike. Má viacero ekvivalentných definícií, najznámejšie z nich sú uvedené nižšie. Používa sa pri exponencionálnych výpočtoch úrokov, výpočtoch teórie pravdepodobnosti, pri výpočte prírastku stromov a živočíšneho tkaniva, v elektronike a inde. Jeho hodnota na 30 desatinných miest je:

e = 2,718281828459045235360287471352...

Definície[upraviť | upraviť zdroj]

Tri najznámejšie definície:

1. Definícia e ako limity
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
2. Definícia e ako súčet nekonečného radu
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots
3. Definícia e ako jediného reálneho čísla x > 0, pre ktoré platí, že
\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

Bolo dokázané, že tieto tri definície sú ekvivalentné.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Exponenciálna funkcia e^x je dôležitá, pretože je to jediná funkcia (okrem funkcie y=0), ktorá je svojou vlastnou deriváciou, a z toho vyplýva že aj svojou vlastnou primitívnou funkciou:

\frac{d}{dx}e^x=e^x
\int e^x\,dx=e^x + C, kde C je konštanta.

Eulerovo číslo je iracionálne (tzn. jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický) a transcendentné (tzn. nedá sa vyjadriť ako koreň mnohočlenov s celočíselnými koeficientami)

Eulerov vzťah[upraviť | upraviť zdroj]

Medzi číslami  e,\pi,i,1 platí vzorec pochádzajúci od Eulera

 e^{i\pi}+1=0 \ .

Je to špeciálny prípad všeobecnejšieho vzťahu, ktorý dáva do súvisu funkcie sínus, kosínus a exponenciálnu funkciu

 e^{ix}=\cos x+i\sin x \ .

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]