Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami
d Postupnosť premiestnená na Postupnosť (matematika) |
čiastočne z cs |
||
Riadok 1: | Riadok 1: | ||
'''Postupnosť''' - <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> alebo len <math>(a_n)</math> - je akákoľvek [[funkcia]] - f(n) - , ktorej [[definičný obor]] je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti značíme a<sub>n</sub>. |
|||
== Vlastnosti == |
|||
Postupnosť je |
|||
*''neklesajúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge a_{i-1}</math>, |
|||
*''nerastúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le a_{i-1}</math>, |
|||
*''rastúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i > a_{i-1}</math>, |
|||
*''klesajúca'', ak pre všetky ''i'' platí <math>a_i < a_{i-1}</math>, |
|||
*''zdola omedzená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>L \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge L</math>, |
|||
*''zhora obmedzená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
|||
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je rostúca alebo klesajúca, je ''rýdzo monotónna''. |
|||
postupnosť je [[usporiadanosť|usporiadanosť]] |
|||
podľa [[následnosť|následnosti]]; [[funkcia|funkcia]], ktorej definičným oborom je |
|||
množina všetkých prirodzených čísel. Hodnota f (n) tejto funkcie v prirodzenom |
|||
čísle n sa označuje a a nazýva sa n-tý člen postupnosti. Postupnosť s n-tým |
|||
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora obmedzená, hovoríme, že je ''obmezená''. |
|||
ü |
|||
== Limita == |
|||
Hovoríme, že postupnosť |
|||
*''konverguje'', ak má konečnú [[limita|limitu]] (napr. <math>1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots</math> konverguje k 0), |
|||
*''diverguje'', ak má nekonečnú limitu (napr. <math>1, 2, 3, \ldots</math> diverguje k <math>\infty</math>), |
|||
*''osciluje'', ak limitu nemá (napr. <math>1, -1, 1, -1, \ldots</math>). |
|||
== Vybraná postupnosť == |
|||
Ak je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> postupnosť (všobecne [[reálne číslo|reálnych]]) čísiel a <math>(k_n)_{n=1}^\infty</math> rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz <math>(a_{k_n})_{n=1}^\infty</math> nazývame ''postupnosť vybraná z <math>a_n</math>'' (inými slovami, z <math>a_n</math> vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne). |
|||
Platí [[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Karl Weierstrass|Weierstrassova]] veta: ''Ak je <math>\mathit(a_n)</math> obmedzená postupnosť v <math>\mathbb{R}</math>, potom z nej možno vybrať postupnosť <math>\mathit(a_{k_n})</math>, ktorá je [[konvergencia|konvergentná]]'' |
|||
== Pozri aj == |
|||
* [[Cauchyovská postupnosť]] |
|||
* [[Aritmetická postupnosť]] |
|||
* [[Geometrická postupnosť]] |
|||
* [[Rad (matematika)|Rad]] |
|||
[[Kategorie:Algebra]] |
|||
[[de:Folge (Mathematik)]] |
|||
[[en:Sequence]] |
|||
[[es:Sucesión matemática]] |
|||
[[fr:Suite (mathématiques)]] |
|||
[[id:Barisan]] |
|||
[[io:Sequo]] |
|||
[[ja:数列]] |
|||
[[nl:Rij (wiskunde)]] |
|||
[[pl:Ciąg (matematyka)]] |
|||
[[pt:Sucessão]] |
|||
[[sl:Zaporedje]] |
|||
[[zh:序列]] |
|||
členom a sa zapisuje |
|||
ü |
|||
ě |
|||
(a ). |
|||
ü |
|||
n=i |
|||
Verzia z 00:22, 29. september 2006
Postupnosť - alebo len - je akákoľvek funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti značíme an.
Vlastnosti
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
- nerastúca, ak pre všetky i platí ,
- rastúca, ak pre všetky i platí ,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ,
- zdola omedzená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
- zhora obmedzená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rostúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora obmedzená, hovoríme, že je obmezená.
Limita
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
- osciluje, ak limitu nemá (napr. ).
Vybraná postupnosť
Ak je postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame postupnosť vybraná z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je obmedzená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná
Pozri aj
Externé odkazy
- FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.