Postupnosť (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o funkcionálnej postupnosti.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Postupnosť je

  • neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
  • nerastúca, ak pre všetky i platí ,
  • rastúca, ak pre všetky i platí ,
  • klesajúca, ak pre všetky i platí ,
  • zdola ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
  • zhora ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.

Limita[upraviť | upraviť zdroj]

Hovoríme, že postupnosť

  • konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
  • diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
  • osciluje, ak limitu nemá (napr. ).

Vybraná postupnosť[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je ohraničená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]