Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami
Bez shrnutí editace |
|||
Riadok 10: | Riadok 10: | ||
*''zhora obmedzená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
*''zhora obmedzená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
||
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je |
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je rastúca alebo klesajúca, je ''rýdzo monotónna''. |
||
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora obmedzená, hovoríme, že je '' |
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora obmedzená, hovoríme, že je ''obmedzená''. |
||
== Limita == |
== Limita == |
Verzia z 00:23, 29. september 2006
Postupnosť - alebo len - je akákoľvek funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.
Vlastnosti
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
- nerastúca, ak pre všetky i platí ,
- rastúca, ak pre všetky i platí ,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ,
- zdola omedzená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
- zhora obmedzená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora obmedzená, hovoríme, že je obmedzená.
Limita
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
- osciluje, ak limitu nemá (napr. ).
Vybraná postupnosť
Ak je postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame postupnosť vybraná z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je obmedzená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná