Divergencia (vektorové pole)

Divergencia je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak je skúmaným poľom napr. gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

Divergenciu využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.

Definícia

Ak sú x, y, z karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a e_x, e_y, e_z je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a

$\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z}$

je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Napriek tomu, že je divergencia definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V n-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru v, tzn.

$\mathrm {div} \,\mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial v_{n}}{\partial x_{n}}}$,

kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako

$\mathrm {div} =\nabla \cdot$

Deriváciou tenzora T n-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa n+1 so zložkami ${\frac {\partial \mathbf {T} _{ij\cdots rs}}{\partial x_{t}}}$. Kontrakciou indexu t proti indexu s získame divergenciu tenzoru T, čo je tenzor stupňa n-1.

$\mathbf {D} _{ij\cdots r}={\frac {\partial \mathbf {T} _{ij\cdots rs}}{\partial x_{s}}}$

Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.

Vlastnosti

Ak označíme F, G ako vektorové polia, f ako skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

$\nabla \cdot (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\nabla \cdot \mathbf {F} +b\;\nabla \cdot \mathbf {G} ,$

aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

$\nabla \cdot (f\mathbf {F} )=\nabla f\cdot \mathbf {F} +f\;\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathrm {grad} f\cdot \mathbf {F} +f\;\mathrm {div} \mathbf {F}$.

Pre divergenciu vektorového súčinu platí

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )=(\mathrm {rot} \,\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\mathrm {rot} \,\mathbf {G} )$,

kde ∇ × F je rotácia F.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0$.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v  v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={1 \over r}{\partial (rF_{r}) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial F_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial F_{z} \over \partial z}$

Vo sférických súradniciach:

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}F_{r}) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }(F_{\theta }\sin \theta )+{1 \over r\sin \theta }{\partial F_{\varphi } \over \partial \varphi }$

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x₁,x₂,x₃, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h₁,h₂,h₃

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \left(h_{1}h_{3}F_{2}\right)}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \left(h_{1}h_{2}F_{3}\right)}{\partial x_{3}}}\right)$

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

$\nabla _{\underline {m}}\left({F}^{k}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}\right)={F^{k}}_{;k}={F^{k}}_{,k}+{\Gamma ^{i}}_{ij}{F^{j}}$

Dohovor: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.