Obelisk (geometria)

Obelisk s podstavou päťuholníka

Obelisk je mnohosten, vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky. Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa, ktorého podstava je kruh, no možná je aj podstava elipsy podobne ako u eliptického valca. Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka.

Vlastnosti

Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť $n$-krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa.

Druhy pravidelných obeliskov

Základný (štvorcový) obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany $a$ (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany $a$ v dolnej podstave štvorca. Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka $c$ ktorá je zhodná s dĺžkou strany $a$ v hornej podstave štvorca. Preto:

$a_{1}=A$ a $c=a$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=4A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_{1}=4a$

Objem vypočítame ako:

$V={\frac {1}{3}}(A^{2}+Aa+a^{2})h$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_{L}=4{\frac {(a_{1}+c)\cdot v}{2}}$

Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako $S={\frac {(a_{1}+c)\cdot v}{2}}$, a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

$A_{T}=A_{L}+(S_{1}+S_{2})$

kde:

$a$ je strana hornej štvorcovej podstavy

$a_{1}$ je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka

$c$ je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka

$A$ je strana dolnej štvorcovej podstavy

$h$ je výška

$S$ je obsah lichobežníka

$S_{1}$je obsah dolnej podstavy

$S_{2}$ je obsah hornej podstavy

Obdlžníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana $c$ je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy $a$. Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana $c_{1}$je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy, $b$. Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov $a_{1}$ je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy $A$. To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany $a_{2}$ sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy, $B$. Preto:

$c=a$, $c_{1}=b$, $a_{1}=A$ a $a_{2}=B$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=2(A+B)$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_{1}=2(a+b)$

Objem vypočítame ako:

$V_{1}={\frac {h}{6}}(Ab+aB+2(ab+AB))$

Alebo ako:

$V_{2}={\frac {1}{6}}h[AB+ab+(A+a)(B+b)]$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_{L}=2{\frac {(a_{1}+c)}{2}}+2{\frac {(a_{2}+c_{1})}{2}}$

Povrch vypočítame ako:

$A_{T}=A_{L}+AB+ab$

kde:

$a$ je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)

$b$ je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)

$A$ je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)

$B$ je najkratšia strana dolnej podstavy (bočná strana)

$c$ je horná, najkratšia strana predných lichobežníkov

$c_{1}$ je horná, najkratšia strana bočných lichobežníkov

$a_{1}$ je dolná, najdlhšia strana predných lichobežníkov

$a_{2}$ je dolná, najdhlšia strana bočných lichobežníkov$A$

$h$ je výška

Rovnostranný trojuholníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými rovnostrannými trojuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 3 rovnoramenné lichobežníky. Každá stena je priamo prepojená s ďalšími dvomi, vďaka vlastnosti trojuholníku. Z geometrického hľadiska, ide o zrezaný pravidelný štvorsten. Vďaka tomu že podstava je rovnostranný trojuholník, existuje len strana hornej podstavy $a$ a dolnej podstavy $A$. Horná, najkratšia strana lichobežníka $c$ je rovnako dlhá ako strana $a$. Dolná, najdlhšia strana lichobežníka $a_{1}$je rovnako dlhá ako strana dolnej podstavy $A$. Preto:

$c=a$ a $a_{1}=A$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=3A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_{1}=3a$

Objem vypočítame ako:

$V={\frac {h}{3}}(S_{1}+S_{2}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}})$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_{L}=3{\frac {(a_{1}+c)}{2}}$

Povrch vypočítame ako:

$A_{T}=A_{L}+S_{1}+S_{2}$

kde:

$a$ je strana hornej podstavy

$A$ je strana dolnej podstavy

$c$ je horná, najkratšia strana lichobežníka

$a_{1}$ je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

$S_{1}$ je obsah hornej podstavy

$S_{2}$ je obsah dolnej podstavy

$h$ je výška

Pentagonálny obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými päťuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 5 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka tomu že ide o pravidelný konvexný polygón s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy $a$ a strana dolnej podstavy $A$. Najkratšia, horná strana lichobežníka $c$ má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy $a$. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka $a_{1}$ má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy $A$. Preto:

$c=a$ a $a_{1}=A$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=5A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_{1}=5a$

Objem vypočítame ako:

$V={\frac {h}{3}}(S_{1}+S_{2}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}})$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_{L}=5{\frac {(a_{1}+c)}{2}}$

Povrch vypočítame ako:

$A_{T}=A_{L}+S_{1}+S_{2}$

kde:

$a$ je strana hornej podstavy

$A$ je strana dolnej podstavy

$c$ je horná, najkratšia strana lichobežníka

$a_{1}$ je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

$S_{1}$ je obsah hornej podstavy

$S_{2}$ je obsah dolnej podstavy

$h$ je výška

Hexagonálny obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými hexagónmi (šesťuholníkmi) tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 6 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka vyššie uvedenej vlastnosti pravidelných konvexných polygónov s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy $a$ a strana dolnej podstavy $A$. Najkratšia, horná strana lichobežníka $c$ má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy $a$. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka $a_{1}$ má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy $A$. Preto:

$c=a$ a $a_{1}=A$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=6A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_{1}=6a$

Na výpočet objemu znova použijeme vzorec na výpočet objemu obeliskov s podstavou pravidelného konvexného polygónu a pod.:

$V={\frac {h}{3}}(S_{1}+S_{2}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}})$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_{L}=6{\frac {(a_{1}+c)}{2}}$

Povrch vypočítame ako:

$A_{T}=A_{L}+S_{1}+S_{2}$

kde:

$a$ je strana hornej podstavy

$A$ je strana dolnej podstavy

$c$ je horná, najkratšia strana lichobežníka

$a_{1}$ je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

$S_{1}$ je obsah hornej podstavy

$S_{2}$ je obsah dolnej podstavy

$h$ je výška

Zrezaný kužeľ

Je objekt zkonštruovaný rotáciou pravouhlého lichobežníka o 360°. Jedná sa o špeciálny typ obelisku, kedže sa nezakladá na polygonálnej (mnohouholníkovej) podstave.

Je tvorený dvoma paralelnými kruhmi. Jeho plášť je výsledkom zrezania kužeľa. Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=2\pi r_{1}$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_{1}=2\pi r_{2}$

Objem vypočítame ako:

$V={\frac {1}{3}}\pi (r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})h$

Bočnú stranu kužeľa vypočítame ako:

$k={\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_{L}=\pi k(r_{1}+r_{2})$

Alebo ako:

$A_{L}=\pi (r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}$

Povrch vypočítame ako:

$A_{T}=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})+\pi k(r_{1}+r_{2})$

Alebo ako:

$A_{T}=A_{L}+(2\pi r_{1})+(2\pi r_{2})$

kde:

$r_{1}$ je polomer dolnej podstavy

$r_{2}$ je polomer hornej podstavy

$h$ je výška