Pytagorova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Ilustrácia Pytagorovej vety

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

,

kde , dĺžky odvesien a je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Dejiny[upraviť | upraviť zdroj]

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne , Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety[upraviť | upraviť zdroj]

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami[upraviť | upraviť zdroj]

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca -násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore[upraviť | upraviť zdroj]

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory , , , pre ktoré platí

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

kde je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku s pravým uhlom pri vrchole označíme

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vety[upraviť | upraviť zdroj]

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1[upraviť | upraviť zdroj]

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami a
  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou .

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2[upraviť | upraviť zdroj]

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

  • Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka a . Pre jeho obsah teda platí:
.
  • Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou . Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov () a bieleho štvorca so stranou c (). Obsah celého obrazca je daný vzorcom
.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

.

Dôkaz číslo 3[upraviť | upraviť zdroj]

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ( a , ktorý sa rovná uhlu ) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)[upraviť | upraviť zdroj]

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° ( ). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

z uvedeného vyplýva, že

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly a sú zhodné), že platí || = ||. Ak dosadíme do 3. rovnice na miesto , z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí || = ||. Trojuholníky sú si teda podobné.

Samotný dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

a rovnako platí aj

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že , čo po dosadení dá:

Pytagorejské čísla[upraviť | upraviť zdroj]

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel , a , pre ktoré platí . Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]