Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami
d r2.6.4) (robot Pridal: kk:Іштізбек |
d r2.7.1) (robot Pridal: nn:Følgje |
||
Riadok 70: | Riadok 70: | ||
[[ms:Jujukan]] |
[[ms:Jujukan]] |
||
[[nl:Rij (wiskunde)]] |
[[nl:Rij (wiskunde)]] |
||
[[nn:Følgje]] |
|||
[[no:Følge (matematikk)]] |
[[no:Følge (matematikk)]] |
||
[[pl:Ciąg (matematyka)]] |
[[pl:Ciąg (matematyka)]] |
Verzia z 12:57, 11. september 2011
Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.
Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.
Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.
Vlastnosti
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
- nerastúca, ak pre všetky i platí ,
- rastúca, ak pre všetky i platí ,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ,
- zdola ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
- zhora ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.
Limita
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
- osciluje, ak limitu nemá (napr. ).
Vybraná postupnosť
Ak je postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je obmedzená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná