Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami
Bez shrnutí editace |
Bez shrnutí editace |
||
Riadok 1: | Riadok 1: | ||
'''Postupnosť''' (symbol <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> alebo len < |
'''Postupnosť''' (symbol je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> alebo len (a<sub>n</sub>) či {a<sub>n</sub>} ) je akákoľvek [[funkcia]] - f(n) - , ktorej [[definičný obor]] je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme a<sub>n</sub>. |
||
Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o '''číselnej postupnosti''' alebo '''postupnosti čísiel''', ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o '''funkcionálnej postupnosti'''. |
Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o '''číselnej postupnosti''' alebo '''postupnosti čísiel''', ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o '''funkcionálnej postupnosti'''. |
Verzia z 14:19, 29. september 2006
Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je akákoľvek funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.
Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.
Vlastnosti
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
- nerastúca, ak pre všetky i platí ,
- rastúca, ak pre všetky i platí ,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ,
- zdola ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
- zhora ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.
Limita
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
- osciluje, ak limitu nemá (napr. ).
Vybraná postupnosť
Ak je postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je obmedzená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná