Kváder: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Aktuálna revízia z 07:40, 7. jún 2021

O iných významoch výrazu Kváder pozri Kváder (rozlišovacia stránka).

Kváder

Objem	$V=a.b.c$
Povrch	$S=2(ab$ + $bc$ + $ac)$
Stena	obdĺžnik
Počet vrcholov	8
Počet hrán	12
Počet stien	6
Uhol pri vrchole	90°
Polomer opísanej guľovej plochy	$r$ = ${\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}}$
Polomer vpísanej guľovej plochy	-
Duálny mnohosten	-

Kváder je trojrozmerné teleso – mnohosten, ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (obvykle obdĺžnikov, ale existujú i špeciálne prípady). Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú obvykle označované ako dĺžka, šírka a výška kvádra. Inak povedané kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Objem $V\,\!$ a povrch $S\,\!$ kvádra sa počíta z dĺžky jeho hrán $a,b,c\,\!$ :

V=a.b.c\,\!

Povrch kvádra sa rovná dvojnásobku súčtu plôch jednotlivých strán:

S=2.(a*b+b*c+a*c)\,\!

Kváder má tri rôzne dĺžky stenových uhlopriečok, ktoré sú dĺžkou uhlopriečok obdĺžnikov vo vzťahu k jeho stranám, a počítajú sa z Pytagorovej vety:

u_{a}={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,\!

u_{b}={\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,\!

u_{c}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,\!

Dĺžku uhlopriečky kvádra (vzdialenosť dvoch vrcholov, ktoré neležia na rovnakej stene) vypočítame taktiež pomocou Pytagorovej vety:

u={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,\!

uhly medzi stenami a uhlopriečkami:

\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}

\beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}}

\gamma =\operatorname {arctg} {\frac {c}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}

Kváder má šesť stien obdĺžnikového tvaru (je špeciálnym prípadom hranola) z ktorých dve protiľahlé sú vždy zhodné, osem vrcholov a dvanásť hrán z ktorých štvorice rovnobežných majú vždy zhodnú dĺžku.

Súmernosť[upraviť | upraviť zdroj]

Kváder je stredovo súmerný podľa priesečníka svojich telesových uhlopriečok.
Kváder je osovo súmerný podľa troch osí – spojníc stredov protiľahlých stien.
Kváder je rovinne súmerný podľa troch rovín. Každá z týchto rovín je rovnobežná s niektorou zo stien kvádra a prechádza priesečníkom uhlopriečok kvádra.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Každé dve steny kvádra sú rovnobežné alebo kolmé. Každé dve hrany kvádra sú rovnobežné alebo kolmé.
Eulerova formula – počet plôch (S), vrcholov (V), a hrán (E) kvádra je možné vyjadriť vzorcom:

S+V=E+2

, čo v našom prípade je

6+8=12+2

.

Špeciálny prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Pravidelný štvorboký hranol[upraviť | upraviť zdroj]

Špeciálnym prípadom kvádra pre $a=b\,\!$ je pravidelný štvorboký hranol. Ten má najmenej jednu dvojicu protiľahlých stien štvorcovú – túto potom nazývame základňa alebo podstava. Tretiu hranu kvádra (nenachádzajúcu sa na podstave) potom nazývame výška hranola $v=c\,\!$ .

Vzorce pre objem a povrch sa zjednodušia na:

$V=a^{2}.v\,\!$
$S=2.a^{2}+4.a.v\,\!$

Kocka[upraviť | upraviť zdroj]

Špeciálnym prípadom kvádra (a zároveň špeciálnym prípadom pravidelného štvorbokého hranola pre $a=b=c\,\!$ je kocka.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kváder

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

Objem a povrch kvádra a kocky

@@ Riadok 14: / Riadok 14: @@
 |duál=-
 }}
+'''Kváder''' je trojrozmerné [[teleso (geometria)|teleso]] – [[mnohosten]], ktorého steny tvorí šesť pravouhlých [[štvoruholník]]ov (obvykle [[obdĺžnik]]ov, ale existujú i [[#Špeciálny prípad|špeciálne prípady]]). Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú obvykle označované ako '''dĺžka, šírka a výška kvádra'''. Inak povedané kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník.
-== nič sa nenašlo ==
-:
+== Vlastnosti ==
+[[objem (matematika)|Objem]] <math> V \,\! </math> a [[povrch]] <math> S \,\! </math> kvádra sa počíta z dĺžky jeho hrán <math> a,b,c \,\! </math>:
+:<math> V = a.b.c \,\!</math>
+Povrch kvádra sa rovná dvojnásobku súčtu plôch jednotlivých strán:
+:<math> S = 2.(a*b + b*c + a*c) \,\! </math>
+Kváder má tri rôzne dĺžky stenových uhlopriečok, ktoré sú dĺžkou uhlopriečok [[obdĺžnik]]ov vo vzťahu k jeho stranám, a počítajú sa z [[Pytagorova veta|Pytagorovej vety]]:
+:<math> u_a = \sqrt{b^2 + c^2} \,\! </math>
+:<math> u_b = \sqrt{a^2 + c^2} \,\! </math>
+:<math> u_c = \sqrt{a^2 + b^2} \,\! </math>
+Dĺžku uhlopriečky kvádra (vzdialenosť dvoch vrcholov, ktoré neležia na rovnakej stene) vypočítame taktiež pomocou Pytagorovej vety:
+:<math> u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \,\! </math>
+[[Uhol|uhly]] medzi stenami a uhlopriečkami:
+:<math>\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}</math>
+:<math>\beta=\operatorname{arctg}\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2}}</math>
+:<math>\gamma=\operatorname{arctg}\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}</math>
+Kváder má šesť stien obdĺžnikového tvaru (je špeciálnym prípadom [[hranol (mnohosten)|hranola]]) z ktorých dve protiľahlé sú vždy zhodné, osem vrcholov a dvanásť hrán z ktorých štvorice rovnobežných majú vždy zhodnú dĺžku.
+[[Obrázok:QuaderNetz.svg|right|thumb|120px|Rozvinutá plocha kvádra]]
+=== Súmernosť ===
+*Kváder je [[stredová súmernosť|stredovo súmerný]] podľa priesečníka svojich telesových uhlopriečok.
+*Kváder je [[osová súmernosť|osovo súmerný]] podľa troch [[os (geometria)|osí]] – spojníc stredov protiľahlých stien.
+*Kváder je [[rovinná súmernosť|rovinne súmerný]] podľa troch rovín. Každá z týchto rovín je rovnobežná s niektorou zo stien kvádra a prechádza priesečníkom uhlopriečok kvádra.
+=== Vlastnosti ===
+*Každé dve steny kvádra sú rovnobežné alebo kolmé. Každé dve hrany kvádra sú rovnobežné alebo kolmé.
+*[[Leonhard Euler|Eulerova]] formula – počet plôch (S), vrcholov (V), a hrán (E) kvádra je možné vyjadriť vzorcom:
+: <math>S + V = E + 2</math>, čo v našom prípade je <math>6 + 8 = 12 + 2</math>.
+== Špeciálny prípad ==
+=== Pravidelný štvorboký hranol ===
+Špeciálnym prípadom kvádra pre <math> a = b \,\! </math> je '''pravidelný štvorboký hranol'''. Ten má najmenej jednu dvojicu protiľahlých stien štvorcovú – túto potom nazývame '''základňa''' alebo '''podstava'''. Tretiu hranu kvádra (nenachádzajúcu sa na podstave) potom nazývame '''výška hranola''' <math> v = c \,\! </math>.
+Vzorce pre objem a povrch sa zjednodušia na:
+* <math> V = a^2.v \,\! </math>
+* <math> S = 2.a^2 + 4.a.v \,\! </math>
+=== Kocka ===
+Špeciálnym prípadom kvádra (a zároveň špeciálnym prípadom pravidelného štvorbokého hranola pre <math>  a = b = c \,\! </math> je [[kocka]].
+== Pozri aj ==
+*[[Kocka]]
+*[[Obdĺžnik]]
+*[[Mnohosten]]
+*[[hranol (mnohosten)]]
+== Iné projekty ==
 {{projekt|commons=Category:Cuboids}}
 == Externé odkazy ==
-* [https://cloud6.edupage.org/cloud/7.r__S_V_kvadra_a_kocky_poznamky.pdf?z%3AImcWhGjeJE1Bdj0lzfPQkYvkABUmLjTjz8hDFU77r9ucJVoaSjRYi7682%2BBREq4J Objem a povrch kvádra a kock]
+* [https://cloud6.edupage.org/cloud/7.r__S_V_kvadra_a_kocky_poznamky.pdf?z%3AImcWhGjeJE1Bdj0lzfPQkYvkABUmLjTjz8hDFU77r9ucJVoaSjRYi7682%2BBREq4J Objem a povrch kvádra a kocky]
 [[Kategória:Priestorové útvary]]