Mnohouholník: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 09:26, 8. september 2013

Mnohouholník alebo polygón alebo n-uholník je časť roviny vymedzená úsečkami, ktoré spájajú určitý počet bodov (najmenej tri), z ktorých žiadne tri susedné neležia na jednej priamke. Inak povedané: Mnohouholník je obmedzená časť roviny ohraničená uzatvorenou lomenou čiarou.

Všeobecne

Body, ktoré určujú mnohouholník, sa nazývajú vrcholy mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú susedné vrcholy, sa nazývajú strany mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú nesusedné vrcholy, sa nazývajú uhlopriečky. Uhly, ktoré zvierajú susedné strany, sa nazývajú vnútorné uhly mnohouholníka. Počet vrcholov, strán a vnútorných uhlov v jednom mnohouholníku je rovnaký a tento počet určuje názov mnohouholníka: trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

Znázornenie

Mnohouholník sa znázorňuje pomocou jeho vrcholov a strán, označuje sa vymenovaním vrcholov v ich presnom poradí. Pri špeciálnych mnohouholníkoch (trojuholník, štvorec, obdĺžnik a pod.) sa v zápise pred vymenovaním vrcholov umiestňuje príslušný symbol (Δ a pod.). Vrcholy, strany a uhly mnohouholníka sa zapisujú rovnakým spôsobom ako body, úsečky a uhly.

Druhy mnohouholníkov

Okrem mnohouholníkov líšiacich sa počtom vrcholov, sa mnohouholníky delia na:

pravidelné (všetky strany a vnútorné uhly sú zhodné) a nepravidelné.
konvexné (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a nekonvexné (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)
pravouholníky (všetky vnútorné uhly sú pravé alebo majú 270°) a nepravouholníky (aspoň jeden vnútorný uhol sa nerovná pravému uhlu).

Vlastnosti

Obvod mnohouholníka $o$ se vypočíta ako súčet všetkých jeho strán: $o=a+b+c+...$ , kde $a,b,c,...$ sú jednotlivé strany mnohouholníka.

Obsah všeobecného mnohouholníka $S$ sa vypočíta pomocou rozloženia mnohouholníka na vhodné vzájomne sa neprekrývajúce trojuholníky, obdĺžniky alebo štvorce, ktorých obsahy $S_{1},S_{2},...$ sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú: $S=S_{1}+S_{2}+...$

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný $\pi (n-2)\;\mathrm {rad}$

Počet uhlopriečok všeobecného $n$ -úholníka určíme zo vzťahu ${\frac {1}{2}}n(n-3)$

Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku opísaná. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva tetivový (jeho strany sú tetivami opísanej kružnice).

Vlastnosti pravidelného mnohouholníka

Veľkosť vnútorného uhla pravidelného $n$ -uholníka má hodnotu $\alpha _{n}={\frac {n-2}{n}}\pi$

Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná $\alpha _{n}^{\prime }={\frac {2\pi }{n}}$

Pravidelnému mnohouholníku je možné opísať a zároveň vpísať kružnicu. Stredy oboch kružníc ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.

Ak označíme dĺžku strany pravidelného $n$ -uholníka ako $a_{n}$ a polomer opísanej kružnice ako $r_{n}$ , potom polomer $\rho _{n}$ vpísanej kružnice je možné určiť zo vzťahu $\rho _{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4r_{n}^{2}-a_{n}^{2}}}$

Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:

Vpísaný n-uholník

Pre vpísaný polygón platí:

v=|KW|

r=|KV|

$S_{n}={\frac {nr^{2}\operatorname {sin} {\alpha }}{2}}$

Opísaný n-uholník

Pre opísaný polygón platí:

R=|KL|

r=|KV|

$S_{N}=nR^{2}\operatorname {tan} {\frac {\alpha }{2}}$

Pozri aj

@@ Riadok 13: / Riadok 13: @@
 * '''pravidelné''' (všetky strany a vnútorné uhly sú [[zhodnosť|zhodné]]) a '''nepravidelné'''.
 * '''konvexné''' (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a '''nekonvexné''' (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)
-* '''pravouholníky''' (všetky vnútorné uhly sú pravé, resp. majú 270°) a '''nepravouholníky''' (aspoň jeden vnútorný uhol sa nerovná pravému uhlu).
+* '''pravouholníky''' (všetky vnútorné uhly sú pravé alebo majú 270°) a '''nepravouholníky''' (aspoň jeden vnútorný uhol sa nerovná pravému uhlu).
 == Vlastnosti ==
-* [[Obvod]] mnohouholníka <math>o</math> se vypočíta ako [[súčet]] všetkých jeho strán:
+[[Obvod]] mnohouholníka <math>o</math> se vypočíta ako [[súčet]] všetkých jeho strán: <math>o = a + b + c + ...</math>, kde <math>a, b, c, ...</math> sú jednotlivé strany mnohouholníka.
-:<math>o = a + b + c + ...</math>, kde <math>a, b, c, ...</math> sú jednotlivé strany mnohouholníka.
-* [[Obsah]] všeobecného mnohouholníka <math>S</math> sa vypočíta pomocou ''rozloženia'' mnohouholníka na ''vhodné'' vzájomne sa neprekrývajúce [[trojuholník]]y, [[obdĺžnik]]y alebo [[štvorec|štvorce]], ktorých obsahy <math>S_1, S_2, ...</math> sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú:
+[[Obsah]] všeobecného mnohouholníka <math>S</math> sa vypočíta pomocou ''rozloženia'' mnohouholníka na ''vhodné'' vzájomne sa neprekrývajúce [[trojuholník]]y, [[obdĺžnik]]y alebo [[štvorec|štvorce]], ktorých obsahy <math>S_1, S_2, ...</math> sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú: <math>S = S_1 + S_2 + ...</math>
-:<math>S = S_1 + S_2 + ...</math>
-* Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný
+Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný <math>\pi (n-2) \;\mathrm{rad}</math>
-:<math>\pi (n-2) \;\mathrm{rad}</math>
-* Počet uhlopriečok všeobecného <math>n</math>-úholníka určíme zo vzťahu
+Počet uhlopriečok všeobecného <math>n</math>-úholníka určíme zo vzťahu <math>\frac{1}{2}n(n-3)</math>
-:<math>\frac{1}{2}n(n-3)</math>
+Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku [[opísaná kružnica|opísaná]]. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva ''tetivový'' (jeho strany sú [[tetiva (geometria)|tetivami]] opísanej kružnice).
-* Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku [[opísaná kružnica|opísaná]]. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva ''tetivový'' (jeho strany sú [[tetiva (geometria)|tetivami]] opísanej kružnice).
 == Vlastnosti pravidelného mnohouholníka ==
+Veľkosť vnútorného uhla pravidelného <math>n</math>-uholníka má hodnotu <math>\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi</math>
+Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná <math>\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}</math>
+Pravidelnému mnohouholníku je možné [[opísaná kružnica|opísať]] a zároveň [[vpísaná kružnica|vpísať]] kružnicu. Stredy oboch [[kružnica|kružníc]] ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.
+Ak označíme dĺžku strany pravidelného <math>n</math>-uholníka ako <math>a_n</math> a polomer [[opísaná kružnica|opísanej kružnice]] ako <math>r_n</math>, potom [[polomer]] <math>\rho_n</math> [[vpísaná kružnica|vpísanej kružnice]] je možné určiť zo vzťahu <math>\rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}</math>
+[[Súbor:N uholnik.jpg|náhľad|vpravo|Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník]] Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:
+=== Vpísaný n-uholník ===
+Pre vpísaný polygón platí:
+v=|KW|
+r=|KV|
+<math>S_n=\frac{n r^2\operatorname{sin}{\alpha}}{2}</math>
-* Veľkosť vnútorného uhla pravidelného <math>n</math>-uholníka má hodnotu
-:<math>\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi</math>
+=== Opísaný n-uholník ===
-* Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná
+Pre opísaný polygón platí:
-:<math>\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}</math>
+R=|KL|
-* Pravidelnému mnohouholníku je možné [[opísaná kružnica|opísať]] a zároveň [[vpísaná kružnica|vpísať]] kružnicu. Stredy oboch [[kružnica|kružníc]] ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.
+r=|KV|
-* Ak označíme dĺžku strany pravidelného <math>n</math>-uholníka ako <math>a_n</math> a polomer [[opísaná kružnica|opísanej kružnice]] ako <math>r_n</math>, potom [[polomer]] <math>\rho_n</math> [[vpísaná kružnica|vpísanej kružnice]] je možné určiť zo vzťahu
-:<math>\rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}</math>
-[[Súbor:N uholnik.jpg|náhľad|vpravo|Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník]]
-* Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka: <br />
+<math>S_N=n R^2\operatorname{tan}{\frac{\alpha}{2}}</math>
-==== Vpísaný n-uholník ====
-Pre vpísaný polygón platí: <br />
-v=|KW|<br />
-r=|KV|<br />
-:<math>S_n=\frac{n r^2\operatorname{sin}{\alpha}}{2}</math><br />
-==== Opísaný n-uholník ====
-Pre opísaný polygón platí:<br />
-R=|KL|<br />
-r=|KV|<br />
-:<math>S_N=n R^2\operatorname{tan}{\frac{\alpha}{2}}</math>
 == Pozri aj ==