Maxwellove rovnice

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
VFPt Solenoid correct2.svg
Elektromagnetizmus
Elektrina · Magnetizmus
Elektrostatika
Elektrický náboj
Coulombov zákon
Elektrické pole
Gaussov zákon
Elektrický potenciál
Magnetostatika
Ampérov zákon
Magnetické pole
Magnetický moment
Elektrodynamika
Elektrický prúd
Lorentzova sila
Elektromotorická sila
Elektromagnetická indukcia
Faradayov-Lenzov zákon
Posuvný prúd
Maxwellove rovnice
Elektromagnetické pole
Elektromagnetické žiarenie
Elektrický obvod
Elektrická vodivosť
Elektrický odpor
Elektrická kapacita
Elektrická indukčnosť
Elektrická impedancia
Elektrická rezonancia

Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Formulácia Maxwellových rovníc[upraviť | upraviť zdroj]

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a 4 \pi (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)[upraviť | upraviť zdroj]

integrálny tvar

\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}, I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}, uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar

\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu  \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)[upraviť | upraviť zdroj]

integrálny tvar

\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej derivácii magnetickej indukcie B.

Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)[upraviť | upraviť zdroj]

integrálny tvar

\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)[upraviť | upraviť zdroj]

integrálny tvar

\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

\nabla \cdot \mathbf{B}=0.

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

Označenie Význam Jednotka SI
\mathbf{E} intenzita elektrického poľa V/m
\mathbf{H} intenzita magnetického poľa A/m
\mathbf{D} elektrická indukcia C/m²
\mathbf{B} magnetická indukcia T
\ \rho \ hustota voľného náboja C/m³
\mathbf{j} hustota prúdu A/m²

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou[upraviť | upraviť zdroj]

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

 \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
 \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ 
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
= \ \ \mu \mathbf{H},

kde:

 \chi_e je elektrická susceptibilita materiálu,

 \chi_m je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho
\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé na polohe a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E},

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov[upraviť | upraviť zdroj]

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu \Phi\,\! a \vec A\,\!, ktoré sú definované tak, aby platilo

\vec B = \nabla\times\vec A
\vec E = -\nabla\Phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}.

\vec E\,\! a \vec B\,\! sa pritom nezmenia, ak od potenciálu \Phi\,\! odčítame ľubovolnú \frac{\partial \xi}{\partial t}, alebo k \vec A\,\! pričítame \nabla\xi, kde \xi\,\! je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

\nabla\cdot\vec A +\varepsilon\mu\frac{\part \Phi}{\partial t}=0.

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

\square \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon},
\square \vec A = -\mu\,\vec j ,

kde \square je d’Alembertov operátor.

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Maxwellovy rovnice na českej Wikipédii.