Maxwellove rovnice

Elektromagnetizmus
Elektrina · Magnetizmus
Elektrostatika
Elektrický náboj
Coulombov zákon
Elektrické pole
Gaussov zákon
Elektrický potenciál
Magnetostatika
Ampérov zákon
Magnetické pole
Magnetický moment
Elektrodynamika
Elektrický prúd
Lorentzova sila
Elektromotorická sila
Elektromagnetická indukcia
Faradayov-Lenzov zákon
Posuvný prúd
Maxwellove rovnice
Elektromagnetické pole
Elektromagnetické žiarenie
Elektrický obvod
Elektrická vodivosť
Elektrický odpor
Elektrická kapacita
Elektrická indukčnosť
Elektrická impedancia
Elektrická rezonancia

Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Formulácia Maxwellových rovníc

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a $4 \pi$ (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)

integrálny tvar

$\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},$$\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S},$ $I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.$

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu $\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}$, uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar

$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu $\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)

integrálny tvar

$\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},$$\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{A}.$

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

$\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej derivácii magnetickej indukcie B.

Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)

integrálny tvar

$\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,$$Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.$

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

$\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.$

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)

integrálny tvar

$\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.$

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

$\nabla \cdot \mathbf{B}=0.$

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

Označenie	Význam	Jednotka SI
$\mathbf{E}$	intenzita elektrického poľa	V/m
$\mathbf{H}$	intenzita magnetického poľa	A/m
$\mathbf{D}$	elektrická indukcia	C/m²
$\mathbf{B}$	magnetická indukcia	T
$\ \rho \$	hustota voľného náboja	C/m³
$\mathbf{j}$	hustota prúdu	A/m²

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m²) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}$

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

$\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ = \ \ \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ = \ \ \mu \mathbf{H},$

kde:

$\chi_e$ je elektrická susceptibilita materiálu,

$\chi_m$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé na polohe a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

$\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E},$

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu $\Phi\,\!$ a $\vec A\,\!$, ktoré sú definované tak, aby platilo

$\vec B = \nabla\times\vec A$

$\vec E = -\nabla\Phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}.$

$\vec E\,\!$ a $\vec B\,\!$ sa pritom nezmenia, ak od potenciálu $\Phi\,\!$ odčítame ľubovolnú $\frac{\partial \xi}{\partial t}$, alebo k $\vec A\,\!$ pričítame $\nabla\xi$, kde $\xi\,\!$ je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

$\nabla\cdot\vec A +\varepsilon\mu\frac{\part \Phi}{\partial t}=0.$

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

$\square \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon},$

$\square \vec A = -\mu\,\vec j ,$

kde $\square$ je d’Alembertov operátor.

Zdroj

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Maxwellovy rovnice na českej Wikipédii.