Lebesgueov integrál

Integrál nezápornej funkcie môže byť interpretovaný ako plocha pod krivkou grafu funkcie.

Lebesgueov integrál alebo L-integrál označuje v matematike definíciu určitého integrálu, založenú na teórii miery, konkrétne tzv. Lebesgueovej miery.

Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, čo v praxi znamená, že ak existuje Riemannov integrál, tak existuje tiež Lebesgueov integrál, pričom hodnoty oboch integrálov sú zhodné. Ak Riemannov integrál neexistuje, môže existovat integrál Lebesgueov. Opačné tvrdenie však neplatí (napr. Dirichletova funkcia, ktorej funkčná hodnota je 1 ak je argument racionálne číslo a je rovná 0 ak je argumentom iracionálne číslo, má Lebesgueov integrál, ale nemá Riemannov integrál).

Lebesgueov integrál je pomenovaný po francúzskom matematikovi Henri Lebesgueovi.

Konštrukcia integrálu

Pri konštrukcii Lebesgueova integrálu postupujeme tak, že rozdelíme obor hodnôt ohraničenej funkcie $f(x)$ na malé intervaly. Už tu je vidieť rozdiel oproti Riemannovmu integrálu, pri ktorého konštrukcii sa delí definičný obor. Na intervale $\langle A,B\rangle$ teda zvolíme body $A=y_{0}<y_{1}<y_{2}<\cdots <y_{n-1}<y_{n}=B$, ktoré určujú určité delenie tohoto intervalu, ktoré označíme d . Ako $\mathbf {E} _{k}$ označíme množinu bodov $x\in \langle a,b\rangle$, pre ktoré platí $y_{k-1}\leq f(x)<y_{k}$. Pre výpočet Lebesgueovho integrálu potrebujeme poznať Lebesgueovu mieru každej množiny $\mathbf {E} _{k}$, ktorú označíme $\mu (\mathbf {E} _{k})$. Horný integrálny súčet pri danom delení d potom vyjadríme vzťahom

$S(d)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}\mu (\mathbf {E} _{k})$

Dolný integrálny súčet pri rovnakom delení d bude mať tvar

$s(d)=\sum _{k=1}^{n}y_{k-1}\mu (\mathbf {E} _{k})$

Pre každú ohraničenú funkciu, ktorá je na intervale $\langle a,b\rangle$ merateľná, je infimum množiny horných integrálnych súčtov, ktoré získame pre všetky možné delenia d intervalu $\langle A,B\rangle$, rovné supremu množiny všetkých dolných integrálnych súčtov, tzn.

$\inf _{d}S(d)=\sup _{d}s(d)$

Spoločnú hodnotu infima horných a suprema dolných integrálnych súčtov nazýváme Lebesgueovým integrálom funkcie $f(x)$ a zapisujeme $\int _{\mathbf {I} }f(x)\mathrm {d} x$, kde $\mathbf {I} =\langle a,b\rangle$, prípadne $\int _{a}^{b}f(x)\mathbf {d} x$. Pre zdôraznenie použitia miery možno tiež písať $\int _{\mathbf {I} }f\mathrm {d} \mu$. Ak je nutné odlíšiť Lebesgueov integrál od integrálu Riemannovho, potom Lebesgueov integrál zapisujeme ako $L\int _{\mathbf {I} }f(x)\mathrm {d} x$.

Ak existuje Lebesgueov integrál funkcie $f(x)$, potom o funkcii $f(x)$ hovoríme, že je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Ak je funkcia $f(x)$ integrovateľná v Riemannovom zmysle, je integrovateľná tiež v Lebesgueovom zmysle, pričom hodnoty oboch integrálov (Riemannovho a Lebesgueovho) sú si rovné. Opačné tvrdenie však neplatí, tzn. funkcia integrovateľná v Lebesgueovom zmysle nemusí byť integrovateľná v zmysle Riemannovom.

Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, pretože integrovať možno na ľubovolnej merateľnej množine. Je možné dokázať tvrdenie, že každá ohraničená merateľná funkcia je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle.

Lebesgueov integrál možno rozšíriť tiež na funkcie, ktoré nie sú ohraničené.

Máme funkciu $f(x)$, ktorá je merateľná na ohraničenej merateľnej množine $\mathbf {I}$, pričom táto funkcia môže byť neohraničená. Ak na $\mathbf {I}$ platí $f(x)\geq 0$, potom môžeme zvoliť ľubovoľné $K>0$ a definovať novú funkciu $f_{K}(x)$ takto

$f_{K}(x)=f(x){\mbox{ pre }}f(x)\leq K$

$f_{K}(x)=K{\mbox{ pre }}f(x)>K$

Funkcia $f_{K}(x)$ je merateľná, pretože tiež funkcia $f(x)$ je podľa predpokladu merateľná, a navyše je tiež ohraničená, takže je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Lebesgueov integrál (neohraničenej) funkcie $f(x)$ potom môžeme definovať vzťahom

$\int _{\mathbf {I} }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{K\to \infty }\int _{\mathbf {I} }f_{K}(x)\mathrm {d} x$

Ak limita na pravej strane existuje, hovoríme, že integrál konverguje. Ak je nevlastná alebo neexistuje, potom hovoríme, že integrál diverguje.

Funkciu $f(x)$ môžeme tiež rozložiť na $f(x)=f_{+}(x)-f_{-}(x)$, kde

$f_{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{ pre }}f(x)\geq 0\\0,&{\mbox{ pre }}f(x)<0\end{matrix}}\right.$

$f_{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}-f(x)\geq 0\\f(x),&{\mbox{ pre }}f(x)<0\end{matrix}}\right.$

Pomocu tohto rozkladu možno vyjadriť Lebesgueov integrál merateľnej funkcie $f(x)$.

Názorný príklad rozdielu medzi Lebesgueovým a Riemannovým integrálom

Ilustrácia výpočtu Riemannovho (hore) a Lebesgueovho integrálu.

Máme za úlohu sčítať peniaze, ktoré sme dostali od jednotlivých ľudí. Môžeme postupovať dvomi spôsobmi.

1. Robiť kôpky peňazí, ktoré sme dostali od jednotlivých ľudí, spočítať hodnotu peňazí v jednotlivých kôpkach a nakoniec sčítať všetky kôpky peňazí. (Riemmanov prístup)
2. Robiť kôpky peňazí a mincí rovnakej hodnoty, určiť ich počet v každej kôpke a vynásobiť ho hodnotou bankovky resp. mince.Nakoniec sčítať všetky kôpky. (Lebesgueov prístup)

Pozri aj

• Integrál
• Lebesgueova miera