Osová súmernosť: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 17:00, 12. december 2019

Osová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený osou o, je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Osová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly.

Veta

Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo invariantná, a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom os úsečky AA'.

Osová súmernosť roviny alebo priestoru s priamkou o ako osou (súmernosti) je zobrazenie, ktoré zobrazuje prvky osi o na sebe samej a bod $A$ ležiaci mimo os o s priemetom $S$ do osi o na bod $A^{\prime }$ , ktorý sa nachádza na polpriamke opačnej k $SA$ v rovnakej vzdialenosti od $S$ ako bod $A$ čiže matematicky $|SA|=|SA^{\prime }|$ ^[1]

Vlastnosti

Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame os objektu.
Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom.
Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body.
Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. $|SA|=const+|SA^{\prime }|$
Osová súmernosť je involúciou.
Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).
Každá priamka kolmá na os súmernosti je invariantná.
Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba inverzným obrazom - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká identita.
Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.
Osová súmernosť je v priestore zhodná s otočením o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
Body ležiace na osi súmernosti sú samodružnými bodmi. Všetky priamky kolmé k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.^[2]

Príklad

Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. rovnostranný trojuholník má tri osi súmernosti, štvorec štyri, pravidelný šesťuholník šesť.
Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.
Rovnoramenný trojuholník, ktorý nie je rovnostranný, má jednu os súmernosti.
Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
Hyperbola, elipsa a parabola sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.
Kocka, guľa, kužeľ a valec sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.
Ihlan je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.^[3]

Referencie

↑ J. SMIDA, J. ŠEDIVÝ, J. LUKÁTŠOVÁ, J. VOCELKA. Matematika pre 1. ročník gymnázia. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1990, [cit. 1990-05-10]. ISBN 80-08-00340-5.
↑ F. JIRÁSEK, J. BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Praha: Ekopress, s.r.o., 2006, [cit. 2006-05-10]. ISBN 80-86929-02-7. (český)
↑ M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-05-10]. ISBN 978-80-561-0058-5.

Pozri aj

[1] J. SMIDA, J. ŠEDIVÝ, J. LUKÁTŠOVÁ, J. VOCELKA. Matematika pre 1. ročník gymnázia. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1990, [cit. 1990-05-10]. ISBN 80-08-00340-5.

[2] F. JIRÁSEK, J. BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Praha: Ekopress, s.r.o., 2006, [cit. 2006-05-10]. ISBN 80-86929-02-7. (český)

[3] M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-05-10]. ISBN 978-80-561-0058-5.

[1]

[2]

[3]

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
+[[Súbor:Commonbuckeye.JPG|náhľad|Osová súmernosť v prírode]]
-====== '''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]]. ======
+'''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]].
 == Veta ==
+Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti.
+Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'.
+[[Súbor:geom_shodnost_soumernost_osa.svg|thumb|250px|Osová súmernosť]]
-==== Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti.  Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'. ====
-[[Súbor:geom_shodnost_soumernost_osa.svg|thumb|250px|Osová súmernosť|alt=Súmernosť]]
 [[Súbor:Symmetry.jpg|250px|right|thumb|Príklady osí súmerností objektov]]
+* '''Osová súmernosť''' [[rovina|roviny]] alebo priestoru s [[priamka|priamkou]] ''o'' ako '''osou (súmernosti)''' je [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]], ktoré zobrazuje prvky osi ''o'' na sebe samej a [[bod]] <math>A</math> ležiaci mimo os ''o'' s [[priemet]]om <math>S</math> do osi ''o'' na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka|polpriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> čiže matematicky <math>|SA| = |SA^\prime|</math><ref>{{Citácia elektronického dokumentu
-==== '''Osová súmernosť''' [[rovina|roviny]] alebo priestoru s [[priamka|priamkou]] ''o'' ako '''osou (súmernosti)''' je [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]], ktoré zobrazuje prvky osi ''o'' na sebe samej a [[bod]] <math>A</math> ležiaci mimo os ''o'' s [[priemet]]om <math>S</math> do osi ''o'' na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka|polpriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> čiže matematicky <math>|SA| = |SA^\prime|</math><ref>{{Citácia elektronického dokumentu
  | priezvisko = J. Smida, J. Šedivý, J. Lukátšová, J. Vocelka
  | meno =
@@ Riadok 19: / Riadok 20: @@
  | jazyk = slovenský
  |isbn=80-08-00340-5
-}}</ref> ====
+}}</ref>
 == Vlastnosti ==
+* [[geometrický útvar|Objekt]] (či už na [[priamka|priamke]], v [[rovina|rovine]] alebo v [[priestor (geometria)|priestore]]) označujeme za '''osovo súmerný''', ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame '''os objektu'''.
+* Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom.
-==== [[geometrický útvar|Objekt]] (či už na [[priamka|priamke]], v [[rovina|rovine]] alebo v [[priestor (geometria)|priestore]]) označujeme za '''osovo súmerný''', ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame '''os objektu'''. ====
+* Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body.
+* Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. <math>|SA| = const + |SA^\prime|</math>
-* Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom.
+* Osová súmernosť je [[Involúcia (matematika)|involúciou]].
+* Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).
-==== Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. ====
+* Každá priamka kolmá na os súmernosti je [[invariantnosť|invariantn]]á.
+* Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba [[inverzný obraz|inverzným obrazom]] - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká [[identické zobrazenie|identita]].
-==== Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. <math>|SA| = const + |SA^\prime|</math> ====
+* Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.
-==== Osová súmernosť je [[Involúcia (matematika)|involúciou]]. ====
-=== Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o). ===
-==== Každá priamka kolmá na os súmernosti je [[invariantnosť|invariantn]]á. ====
-==== Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba [[inverzný obraz|inverzným obrazom]] - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká [[identické zobrazenie|identita]]. ====
-==== Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak. ====
 * Osová súmernosť je v priestore zhodná s [[rotácia (geometria)|otočením]] o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
+* Body ležiace na osi súmernosti sú [[samodružný bod|samodružnými bodmi]]. Všetky priamky [[kolmosť|kolmé]] k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
-==== Body ležiace na osi súmernosti sú [[samodružný bod|samodružnými bodmi]]. Všetky priamky [[kolmosť|kolmé]] k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
  | priezvisko = F. Jirásek, J. Benda
  | meno =
@@ Riadok 55: / Riadok 45: @@
  | jazyk = český
  |isbn=80-86929-02-7
-}}</ref> ====
+}}</ref>
-==== Príklad ====
+== Príklad ==
+* Všetky pravidelné [[mnohouholník]]y sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. [[rovnostranný trojuholník]] má tri osi súmernosti, [[štvorec]] štyri, pravidelný [[šesťuholník]] šesť.
+* Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.
-==== Všetky pravidelné [[mnohouholník]]y sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. [[rovnostranný trojuholník]] má tri osi súmernosti, [[štvorec]] štyri, pravidelný [[šesťuholník]] šesť. ====
+* [[Rovnoramenný trojuholník]], ktorý nie je [[rovnostranný trojuholník|rovnostranný]], má jednu os súmernosti.
+* Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
-==== Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou. ====
+* [[Hyperbola (matematika)|Hyperbola]], [[elipsa]] a [[parabola]] sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.
+* [[Kocka]], [[guľa]], [[kužeľ]] a [[valec]] sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.
-==== [[Rovnoramenný trojuholník]], ktorý nie je [[rovnostranný trojuholník|rovnostranný]], má jednu os súmernosti. ====
+* [[Ihlan]] je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
-==== Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný. ====
-==== [[Hyperbola (matematika)|Hyperbola]], [[elipsa]] a [[parabola]] sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov. ====
-==== [[Kocka]], [[guľa]], [[kužeľ]] a [[valec]] sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru. ====
-==== [[Ihlan]] je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
  | priezvisko = M. Billich - M. Trenkler
  | meno =
@@ Riadok 83: / Riadok 66: @@
  | jazyk = slovenský
  |isbn=978-80-561-0058-5
-}}</ref> ====
+}}</ref>
-==== Referencie ====
+== Referencie ==
 {{Referencie}}
-==== Pozri aj ====
+== Pozri aj ==
+* [[Stredová súmernosť]]
-==== [[Stredová súmernosť]] ====
+* [[Rovinná súmernosť]]
+* [[Zhodné zobrazenie]]
-==== [[Rovinná súmernosť]] ====
-==== [[Zhodné zobrazenie]] ====
 [[Kategória:Geometria]]