Hypotéza kontinua

Hypotéza kontinua tvrdí, že neexistuje množina X, ktorej mohutnosť je väčšia než je mohutnosť množiny prirodzených čísel a menšia než je mohutnosť reálnych čísel. Hypotézu kontinua sformuloval Georg Cantor.

Hypotéza kontinua bola veľkým orieškom pre matematikov 20. storočia. Na jej počiatku stála nasledovná úvaha:

Nech $\mathbb {N}$ je množina prirodzených čísel a $\mathbb {R}$ množina reálnych čísel. Klasickou Cantorovou diagonálnou metódou sa dá dokázať, že množina $\mathbb {N}$ je "subvalentná" množine $\mathbb {R}$, tj. má menšiu mohutnosť (kardinalitu, ľudovo "má menej prvkov"), značíme $|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$ . Otázka znie, či existuje nejaká množina $X$, pre ktorú by platilo $|\mathbb {N} |<|X|<|\mathbb {R} |$, t. j. či existuje nejaká nespočítateľná množina, ktorá má menšiu mohutnosť než kontinuum (množina reálnych čísel). Hypotéza kontinua tvrdí, že množina $X$ neexistuje.

Kurt Gödel dokázal, že existencia takejto množiny sa nedá z axiómov Zermelo-Fraenkelovej teórie množín vyvrátiť.

Americký matematik P. Cohen dokázal, že hypotéza kontinua nezávisí od ostatných axióm teórie množín.